Teorema di esistenza del limite di successioni monotone

1leftarrow blue.svgVoce principale: Limite di una successione.

Il teorema di esistenza del limite di successioni monotone è un teorema di analisi matematica che asserisce che ogni successione monotona di numeri reali ha un limite.

EnunciatoModifica

Il teorema afferma che una successione monotona   di numeri reali converge sempre ad un limite  ; più precisamente, il limite di una successione crescente è il suo estremo superiore, mentre il limite di una successione decrescente è il suo estremo inferiore.

Tale limite è finito se e solo se   è limitata.

EsempiModifica

La successione  :

 

è monotona decrescente e costituita da componenti positive e converge al limite:

 

La successione  :

 

è invece monotona crescente e non limitata, perciò diverge a infinito:

 

DimostrazioneModifica

Supponiamo la successione   sia monotona crescente.

Se la successione è illimitata, allora per ogni   esiste un   tale che  ; di conseguenza, per la monotonia,   per ogni  . Per definizione, allora, il limite di   è infinito.

Se la successione è limitata, sia   il suo estremo superiore. Per definizione di estremo superiore, per ogni   esiste un   tale che  ; di conseguenza,   per ogni  . Per definizione di limite,   è il limite di  .

Nel caso in cui   sia monotona decrescente si può procedere allo stesso modo, oppure applicare il caso delle successioni crescenti alla successione   e poi applicare le proprietà dei limiti.

BibliografiaModifica

  • Enrico Giusti, Analisi matematica 1, terza edizione, Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.
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