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Limite di una successione

In matematica, il limite di una successione è il valore a cui tendono i termini di una successione. In particolare, se tale limite esiste finito, la successione si dice convergente. Si tratta di un concetto fondamentale per la costruzione rigorosa dell'analisi matematica.

Tramite la nozione di limite viene formalizzata rigorosamente l'idea intuitiva di "punto variabile che si avvicina arbitrariamente a un punto dato". Tale "punto mobile" potrebbe "muoversi" nell'insieme dei numeri razionali, sulla retta reale, sul piano o anche (via via generalizzando) in uno spazio euclideo, in uno spazio metrico o in uno spazio topologico.

L'esempio più semplice è dato dalla successione dei reciproci degli interi positivi :

successione che si può descrivere meccanicamente come un numero variabile che si avvicina sempre di più allo zero.

La nozione di limite di una successione può essere generalizzata a quella di limite di una funzione. Infatti una successione è una funzione avente come dominio l'insieme dei numeri naturali.

DefinizioniModifica

Limite nella retta realeModifica

Un numero reale   è il limite di una successione di numeri reali   se la distanza fra i numeri   ed  , data dal valore assoluto  , è arbitrariamente piccola quando   è sufficientemente grande.

In altre parole,   è il limite della successione se   e in tal caso si scrive:[1]

 

e si dice che la successione converge a  .

Se  , la successione è detta infinitesima. Questa definizione chiarisce il fatto che l'espressione "infinitesima" non è appropriata per una grandezza ben determinata (anche se molto piccola), ma ha senso solo in riferimento a una grandezza variabile.

La definizione di limite può essere estesa al caso   e   nel modo seguente. La successione   ha limite   se raggiunge e mantiene valori arbitrariamente alti, cioè se per ogni   esiste un numero naturale   tale che   per ogni  .

Analogamente, la successione ha limite   se   per ogni  . In entrambi i casi si dice che la successione è divergente.

Per il teorema di unicità del limite il limite di una successione (che sia finito o infinito) se esiste è unico.

Limite in spazi metriciModifica

In uno spazio metrico  , dove   è la funzione distanza, un punto   di   è il limite di una successione   se:

 

Questa definizione coincide in   con quella descritta sopra, se   è considerato con la usuale metrica euclidea, definita da  .

Limite in spazi topologiciModifica

In uno spazio topologico  , un punto   è limite di una successione   se:

 

Proprietà di baseModifica

LimitatezzaModifica

Per il teorema di limitatezza, una successione   convergente ad un limite finito   è limitata, ovvero esiste un   tale che   per ogni  .

D'altra parte, una successione limitata non è necessariamente convergente: si veda ad esempio la successione  .

Una successione divergente (cioè con limite  ) può essere limitata o solo inferiormente o solo superiormente. D'altro canto, esistono però successioni non limitate che non sono divergenti. Ad esempio, la successione   data da:

 

oppure la successione:

 

In entrambi i casi, le successioni non hanno limite e quindi non sono divergenti.

Permanenza del segnoModifica

Per il teorema della permanenza del segno, se una successione   converge ad un limite strettamente positivo   (che può essere anche  ), questa ha definitivamente soltanto termini positivi. In altre parole, esiste un   tale che   per ogni  .

Analogamente, una successione che converge ad un limite strettamente negativo ha definitivamente soltanto termini negativi. Una successione che converge a zero può avere infiniti termini di ambo i segni, ad esempio  :

 

D'altro canto, non è vero in generale che una successione   di termini positivi   convergente debba avere un limite strettamente positivo  : ad esempio, la successione   è fatta di termini positivi, ma converge a zero.

È però vero che una tale successione debba avere un limite  : se infatti avesse un limite negativo  , per la permanenza del segno appena descritta dovrebbe avere infiniti termini negativi.

Valori assolutiModifica

Se una successione   converge ad un limite (finito o infinito)  , la successione dei valori assoluti   converge al valore assoluto del limite  .

Non è vero l'enunciato opposto: esistono successioni non convergenti, i cui valori assoluti però convergono. Ad esempio, la successione  .

Successione monotonaModifica

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone, una successione monotona   converge sempre ad un limite (che può essere infinito). Il limite è dato dall'estremo superiore (se è monotona crescente) o inferiore (se è decrescente) dei valori della successione. In altre parole, nel caso crescente:

 

Tale limite è finito quindi se e solo se la successione è limitata.

Il fatto che   sia monotona e converga ad un limite   è spesso espresso con una freccia:

 

oppure:

 

Manipolazioni di successioniModifica

SottosuccessioniModifica

Una sottosuccessione di una successione   è ottenuta prendendo un sottoinsieme infinito di questa, e si indica con  . Vale la proprietà seguente: una successione è convergente se e solo se ogni sua sottosuccessione è convergente.

Somma e prodotto di successioniModifica

Se   e   sono successioni convergenti, con:

 

limiti finiti, allora:

 
 
 
 

Queste proprietà sono valide in alcuni casi anche per limiti   infiniti, purché l'operazione richiesta non sia una forma indeterminata. Ad esempio:

 

e se  , anche:

 

con i segni opportuni calcolati con la usuale regola del prodotto.

Confronto fra successioniModifica

Un metodo classico per ottenere informazioni sulla convergenza di una successione consiste nel confrontare questa con un'altra, il cui comportamento è già noto.

Confronto fra due successioniModifica

Se due successioni   e   convergono ai limiti   e  , e se   per ogni  , allora  .

Per mostrare questo fatto, basta prendere la successione  , che è fatta di termini maggiori o uguali a zero, e per le proprietà dei limiti rispetto alle operazioni converge a  : quindi per il teorema della permanenza del segno  , ovvero  .

Teorema del confrontoModifica

Il teorema del confronto per le successioni asserisce che una successione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se   e   sono tre successioni tali che:

 

per ogni  , e se:

 

allora anche:

 

Ad esempio, la successione:

 

è "stretta" fra le successioni   e  , poiché:

 

per ogni  . Poiché entrambe   e   sono infinitesime (convergono cioè a zero), anche   è infinitesima.

Criterio di convergenza di CauchyModifica

Una successione di Cauchy è una successione  , i cui valori "si avvicinano sempre di più" fra loro. Formalmente, per ogni   esiste   tale che:

 

Per il criterio di convergenza di Cauchy, una successione di numeri reali è convergente se e solo se è di Cauchy.

La proprietà essenziale dei numeri reali che rende possibile questo fatto è la completezza. Infatti il criterio non vale per i numeri razionali, che non sono completi: una successione di numeri razionali di Cauchy non è necessariamente convergente ad un numero razionale (ma lo è ad un numero reale). Ad esempio:

 

è una successione di Cauchy di numeri razionali convergenti al numero irrazionale   di Nepero.

Criterio di convergenza di Stolz-CesàroModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Stolz-Cesàro.

Se si considerano due successioni a valori reali di cui una   è positiva, strettamente crescente, illimitata, ed esiste il seguente limite:

 

allora esiste anche il limite:

 

Confronti tra infiniti e infinitesimiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Stima asintotica.

EsempiModifica

  • La successione   converge a 0:
 
  • La successione:
 
è convergente. Il suo limite è il numero di Nepero  
  • La successione a segni alterni   non è convergente:
 
  • La successione   è divergente positivamente (tende a  ):
 

NoteModifica

  1. ^ È usata anche la scrittura abbreviata  , che comunque non crea ambiguità o confusione in quanto nei numeri naturali l'unico punto di accumulazione è infinito e quindi l'unico limite che si può calcolare di una successione è proprio ad infinito, al contrario delle funzioni di variabile reale

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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