Trasformazioni triangolo - stella Passaggio da stella a triangolo
modifica
Per dimostrare il passaggio da una configurazione a stella ad una a triangolo (più utile ad esempio nel calcolo delle resistenze in parallelo) si procede risolvendo il primo circuito con il metodo delle maglie ed il secondo con il metodo dei nodi considerando il nodo A a potenziale nullo per semplicità. Per fare ciò si fornisce un'alimentazione esterna che non altera le caratteristiche del sistema.
Per il primo circuito si ha:
[
R
a
+
R
b
−
R
a
−
R
a
R
a
+
R
c
]
[
I
1
I
2
]
=
[
−
V
b
V
c
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}R_{a}+R_{b}&-R_{a}\\-R_{a}&R_{a}+R_{c}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}}
per cui la prima corrente di maglia è
I
1
=
−
V
b
R
a
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
−
V
b
R
c
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
+
V
c
R
a
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
{\displaystyle I_{1}=-V_{b}{\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}-V_{b}{\frac {R_{c}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}+V_{c}{\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}}
Per il secondo circuito invece si ottiene
[
G
a
b
+
G
b
c
−
G
b
c
−
G
b
c
G
a
c
+
G
b
c
]
[
V
b
V
c
]
=
[
−
I
1
I
2
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}G_{ab}+G_{bc}&-G_{bc}\\-G_{bc}&G_{ac}+G_{bc}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{b}\\V_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}}
quindi l'equazione per la corrente
I
1
{\displaystyle I_{1}}
I
1
=
−
(
G
a
b
+
G
b
c
)
V
b
+
G
b
c
V
c
{\displaystyle I_{1}=-(G_{ab}+G_{bc})V_{b}+G_{bc}V_{c}}
Eguagliando i coefficienti si ottiene la relazione per la conduttanza tra il nodo B e C :
G
b
c
=
R
a
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
{\displaystyle G_{bc}={\frac {R_{a}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}}
e quindi analogamente si dimostra che
G
a
c
=
R
b
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
{\displaystyle G_{ac}={\frac {R_{b}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}}
e
G
a
b
=
R
c
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
{\displaystyle G_{ab}={\frac {R_{c}}{R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}}}
.
Si noti quindi che il valore della conduttanza di un lato del triangolo è pari al rapporto tra la resistenza che si oppone al lato in esame e il prodotto misto a due a due delle resistenze stella, si avranno quindi le rispettive resistenze:
R
b
c
=
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
R
a
{\displaystyle R_{bc}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{a}}}}
R
a
c
=
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
R
b
{\displaystyle R_{ac}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{b}}}}
R
a
b
=
R
a
R
b
+
R
a
R
c
+
R
b
R
c
R
c
{\displaystyle R_{ab}={\frac {R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c}}{R_{c}}}}
Passaggio da triangolo a stella
modifica
In maniera perfettamente duale si ottengono le resistenze stella dalle conduttanze triangolo:
R
a
=
G
b
c
G
a
b
G
a
c
+
G
a
b
G
b
c
+
G
a
c
G
b
c
{\displaystyle R_{a}={\frac {G_{bc}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}}
R
b
=
G
a
c
G
a
b
G
a
c
+
G
a
b
G
b
c
+
G
a
c
G
b
c
{\displaystyle R_{b}={\frac {G_{ac}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}}
R
c
=
G
a
b
G
a
b
G
a
c
+
G
a
b
G
b
c
+
G
a
c
G
b
c
{\displaystyle R_{c}={\frac {G_{ab}}{G_{ab}G_{ac}+G_{ab}G_{bc}+G_{ac}G_{bc}}}}
Oppure (considerando solo le resistenze):
R
a
=
R
a
b
R
a
c
R
a
b
+
R
b
c
+
R
a
c
{\displaystyle R_{a}={R_{ab}R_{ac} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}
R
b
=
R
a
b
R
b
c
R
a
b
+
R
b
c
+
R
a
c
{\displaystyle R_{b}={R_{ab}R_{bc} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}
R
c
=
R
b
c
R
a
c
R
a
b
+
R
b
c
+
R
a
c
{\displaystyle R_{c}={R_{bc}R_{ac} \over R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}
Dimostrazione tramite principio di sovrapposizione degli effetti
modifica
Un altro modo per dimostrare la validità dell'equivalenza si può ottenere tramite la sovrapposizione degli effetti .
Perché la configurazione a triangolo sia equivalente alla stella le correnti nei punti A, B e C devono essere identiche nelle due configurazioni.
Determiniamo ora le correnti con il principio di sovrapposizione nelle due configurazioni.
Prendiamo la configurazione a triangolo e calcoliamo le correnti entranti nei nodi A, B e C.
I
a
=
V
a
−
V
b
R
a
b
/
/
(
R
b
c
+
R
a
c
)
+
V
a
−
V
c
R
a
c
/
/
(
R
a
b
+
R
b
c
)
{\displaystyle I_{a}={\frac {V_{a}-V_{b}}{R_{ab}//(R_{bc}+R_{ac})}}+{\frac {V_{a}-V_{c}}{R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})}}}
I
b
=
V
b
−
V
c
R
b
c
/
/
(
R
a
c
+
R
a
b
)
+
V
b
−
V
a
R
a
b
/
/
(
R
a
c
+
R
b
c
)
{\displaystyle I_{b}={\frac {V_{b}-V_{c}}{R_{bc}//(R_{ac}+R_{ab})}}+{\frac {V_{b}-V_{a}}{R_{ab}//(R_{ac}+R_{bc})}}}
I
c
=
V
c
−
V
a
R
a
c
/
/
(
R
a
b
+
R
b
c
)
+
V
c
−
V
b
R
b
c
/
/
(
R
a
b
+
R
a
c
)
{\displaystyle I_{c}={\frac {V_{c}-V_{a}}{R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})}}+{\frac {V_{c}-V_{b}}{R_{bc}//(R_{ab}+R_{ac})}}}
I
a
=
V
a
−
V
b
R
a
+
R
b
+
V
a
−
V
c
R
a
+
R
c
{\displaystyle I_{a}={\frac {V_{a}-V_{b}}{R_{a}+R_{b}}}+{\frac {V_{a}-V_{c}}{R_{a}+R_{c}}}}
I
b
=
V
b
−
V
c
R
b
+
R
c
+
V
b
−
V
a
R
b
+
R
a
{\displaystyle I_{b}={\frac {V_{b}-V_{c}}{R_{b}+R_{c}}}+{\frac {V_{b}-V_{a}}{R_{b}+R_{a}}}}
I
c
=
V
c
−
V
a
R
c
+
R
a
+
V
c
−
V
b
R
c
+
R
b
{\displaystyle I_{c}={\frac {V_{c}-V_{a}}{R_{c}+R_{a}}}+{\frac {V_{c}-V_{b}}{R_{c}+R_{b}}}}
{
R
a
+
R
b
=
R
a
b
/
/
(
R
b
c
+
R
a
c
)
=
R
a
b
(
R
b
c
+
R
a
c
)
R
a
b
+
R
b
c
+
R
a
c
=
R
a
b
R
b
c
+
R
a
b
R
a
c
R
a
b
+
R
b
c
+
R
a
c
=
R
a
b
R
b
c
+
R
a
b
R
a
c
R
s
R
b
+
R
c
=
R
b
c
/
/
(
R
a
c
+
R
a
b
)
=
R
b
c
(
R
a
c
+
R
a
b
)
R
b
c
+
R
a
c
+
R
a
b
=
R
b
c
R
a
c
+
R
b
c
R
a
b
R
b
c
+
R
a
c
+
R
a
b
=
R
b
c
R
a
c
+
R
b
c
R
a
b
R
s
R
a
+
R
c
=
R
a
c
/
/
(
R
a
b
+
R
b
c
)
=
R
a
c
(
R
a
b
+
R
b
c
)
R
a
c
+
R
a
b
+
R
b
c
=
R
a
c
R
a
b
+
R
a
c
R
b
c
R
a
c
+
R
a
b
+
R
b
c
=
R
a
c
R
a
b
+
R
a
c
R
b
c
R
s
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}R_{a}+R_{b}=R_{ab}//(R_{bc}+R_{ac})={\frac {R_{ab}(R_{bc}+R_{ac})}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac}}{R_{ab}+R_{bc}+R_{ac}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac}}{R_{s}}}\\\\R_{b}+R_{c}=R_{bc}//(R_{ac}+R_{ab})={\frac {R_{bc}(R_{ac}+R_{ab})}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}={\frac {R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab}}{R_{bc}+R_{ac}+R_{ab}}}={\frac {R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab}}{R_{s}}}\\\\R_{a}+R_{c}=R_{ac}//(R_{ab}+R_{bc})={\frac {R_{ac}(R_{ab}+R_{bc})}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}={\frac {R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}={\frac {R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc}}{R_{s}}}\\\end{array}}\right.}
R
s
=
R
a
c
+
R
a
b
+
R
b
c
{\displaystyle R_{s}=R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}
R
a
,
R
b
e
R
c
{\displaystyle R_{a},R_{b}eR_{c}}
{
R
a
=
(
R
a
+
R
b
)
−
(
R
b
+
R
c
)
+
(
R
a
+
R
c
)
2
=
(
R
a
b
R
b
c
+
R
a
b
R
a
c
)
−
(
R
b
c
R
a
c
+
R
b
c
R
a
b
)
+
(
R
a
c
R
a
b
+
R
a
c
R
b
c
)
2
R
s
=
R
a
b
R
a
c
R
s
R
b
=
(
R
a
+
R
b
)
+
(
R
b
+
R
c
)
−
(
R
a
+
R
c
)
2
=
(
R
a
b
R
b
c
+
R
a
b
R
a
c
)
+
(
R
b
c
R
a
c
+
R
b
c
R
a
b
)
−
(
R
a
c
R
a
b
+
R
a
c
R
b
c
)
2
R
s
=
R
a
b
R
b
c
R
s
R
c
=
−
(
R
a
+
R
b
)
+
(
R
b
+
R
c
)
+
(
R
a
+
R
c
)
2
=
−
(
R
a
b
R
b
c
+
R
a
b
R
a
c
)
+
(
R
b
c
R
a
c
+
R
b
c
R
a
b
)
+
(
R
a
c
R
a
b
+
R
a
c
R
b
c
)
2
R
s
=
R
a
c
R
b
c
R
s
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}R_{a}={\frac {(R_{a}+R_{b})-(R_{b}+R_{c})+(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})-(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})+(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{s}}}\\\\R_{b}={\frac {(R_{a}+R_{b})+(R_{b}+R_{c})-(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})+(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})-(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{s}}}\\\\R_{c}={\frac {-(R_{a}+R_{b})+(R_{b}+R_{c})+(R_{a}+R_{c})}{2}}={\frac {-(R_{ab}R_{bc}+R_{ab}R_{ac})+(R_{bc}R_{ac}+R_{bc}R_{ab})+(R_{ac}R_{ab}+R_{ac}R_{bc})}{2R_{s}}}={\frac {R_{ac}R_{bc}}{R_{s}}}\\\end{array}}\right.}
{
R
a
=
R
a
b
R
a
c
R
a
c
+
R
a
b
+
R
b
c
R
b
=
R
a
b
R
b
c
R
a
c
+
R
a
b
+
R
b
c
R
c
=
R
a
c
R
b
c
R
a
c
+
R
a
b
+
R
b
c
{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}R_{a}={\frac {R_{ab}R_{ac}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\\R_{b}={\frac {R_{ab}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\\R_{c}={\frac {R_{ac}R_{bc}}{R_{ac}+R_{ab}+R_{bc}}}\\\end{array}}\right.}
