Apri il menu principale

Principio di sovrapposizione

In matematica e in fisica, il principio di sovrapposizione stabilisce che per un sistema dinamico lineare l'effetto di una somma di perturbazioni in ingresso è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola perturbazione.

In altri termini, la risposta del sistema lineare ad una combinazione lineare di un certo numero di sollecitazioni linearmente indipendenti , con , può ottenersi sommando le singole risposte che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle):

Il principio di sovrapposizione esprime la possibilità di scomporre un problema lineare. Se si è in grado di scrivere i dati di ingresso in più componenti linearmente indipendenti (ad esempio, in un moto a due dimensioni si possono considerare la componente verticale e la componente orizzontale) allora è possibile risolvere il problema analizzando separatamente ciascuna delle componenti: si calcola ogni singola risposta e poi si sommano le singole risposte secondo la stessa proporzione (ovvero con gli stessi coefficienti ) in cui erano sommati i dati in ingresso.

Indice

Sistemi stazionari (LTI)Modifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema dinamico lineare stazionario.

Dato un sistema lineare stazionario:

 
 

con  ,  ,   e   matrici non dipendenti dal tempo, sia   la risposta del sistema all'ingresso   quando il sistema è nello stato iniziale  .

Dato lo stato iniziale  , con  , il principio di sovrapposizione implica che ad un ingresso   corrisponde l'uscita:

 

Grazie a questo fatto l'uscita può essere espressa come la somma:

 

della risposta libera   e della risposta forzata  . Utilizzando la trasformata di Laplace   si può anche scrivere, nello specifico:

 

dove   è la trasformata di   e le matrici   e   sono date da:

 

Il termine   è lineare rispetto a   e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale  . Il termine   è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso  .

Si ha infatti:

 
 

ApplicazioniModifica

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. In presenza di un sistema:

 

dove   è una matrice e   un vettore, il principio afferma che se   e   sono soluzioni dei sistemi con termini noti   e  , allora   risolve il sistema:

 

FisicaModifica

 
Le scie che le anatre producono sulla superficie dello stagno si compongono secondo il principio di sovrapposizione

I fenomeni naturali che rispettano il principio di sovrapposizione sono diversi; ad esempio le equazioni di Maxwell stabiliscono un legame lineare tra carica e campi magnetici, e quindi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

IngegneriaModifica

In teoria dei segnali, la sovrapposizione lineare è alla base dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica e ingegneria civile, l'uso della sovrapposizione degli effetti è utile nell'identificare la distribuzione dei carichi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

EsempioModifica

Nella risoluzione dell'equazione del calore   il metodo di separazione delle variabili fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale. Imponendo che la soluzione sia della forma   (con   e   tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema:

 

che ha come soluzioni   e  , dove   è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) N. K. Verma, Physics for Engineers, PHI Learning Pvt. Ltd., Oct 18, 2013, 592 pp. [1]
  • (EN) Tim Freegard, Introduction to the Physics of Waves, Cambridge University Press, Nov 8, 2012. [2]
  • (EN) Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Mechanical Engineering Design (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
  • (EN) Bathe, K. J., Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85130645 · GND (DE4184121-9