In geometria analitica , un ellisse è definito da una forma quadratica , ovvero l'insieme dei punti con coordinate
(
X
,
Y
)
{\displaystyle (X,\,Y)}
nel Piano Cartesiano che, nel caso non degenera, soddisfa l'equazione implicita :
A
X
2
+
B
X
Y
+
C
Y
2
+
D
X
+
E
Y
+
F
=
0
{\displaystyle AX^{2}+BXY+CY^{2}+DX+EY+F=0}
sotto la condizione
B
2
−
4
A
C
<
0.
{\displaystyle B^{2}-4AC<0.}
. Per distinguere i casi degeneri dai casi non degeneri si utilizza la Rappresentazione matriciale delle coniche .
I coefficienti dell'equazione generale possono essere ottenuti dalla conoscenza del semi asse maggiore
a
{\displaystyle a}
, del semi asse minore
b
{\displaystyle b}
, le coordinate del centro dell'ellisse
(
x
∘
,
y
∘
)
{\displaystyle \left(x_{\circ },\,y_{\circ }\right)}
, e dall'angolo di rotazione
θ
{\displaystyle \theta }
(calcolato tra l'asse orizzontale positivo delle ascisse con l'asse principale dell'ellisse), utilizzando le seguenti formule:
A
=
a
2
sin
2
θ
+
b
2
cos
2
θ
B
=
2
(
b
2
−
a
2
)
sin
θ
cos
θ
C
=
a
2
cos
2
θ
+
b
2
sin
2
θ
D
=
−
2
A
x
∘
−
B
y
∘
E
=
−
B
x
∘
−
2
C
y
∘
F
=
A
x
∘
2
+
B
x
∘
y
∘
+
C
y
∘
2
−
a
2
b
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta \\B&=2\left(b^{2}-a^{2}\right)\sin \theta \cos \theta \\C&=a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\D&=-2Ax_{\circ }-By_{\circ }\\E&=-Bx_{\circ }-2Cy_{\circ }\\F&=Ax_{\circ }^{2}+Bx_{\circ }y_{\circ }+Cy_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}
Viceversa, parametri canonici possono essere ottenuti dai coefficienti della forma quadratica dalle relazioni:
a
=
−
D
x
∘
2
+
E
y
∘
2
+
F
A
cos
2
θ
−
B
sin
θ
cos
θ
+
C
sin
2
θ
{\displaystyle a={\sqrt {-{\frac {{\frac {Dx_{\circ }}{2}}+{\frac {Ey_{\circ }}{2}}+F}{A\cos ^{2}{\theta }-B\sin {\theta }\cos {\theta }+C\sin ^{2}{\theta }}}}}}
b
=
−
D
x
∘
2
+
E
y
∘
2
+
F
A
cos
2
θ
+
B
sin
θ
cos
θ
+
C
sin
2
θ
{\displaystyle b={\sqrt {-{\frac {{\frac {Dx_{\circ }}{2}}+{\frac {Ey_{\circ }}{2}}+F}{A\cos ^{2}{\theta }+B\sin {\theta }\cos {\theta }+C\sin ^{2}{\theta }}}}}}
x
∘
=
2
C
D
−
B
E
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle x_{\circ }={\frac {2CD-BE}{B^{2}-4AC}}}
y
∘
=
2
A
E
−
B
D
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle y_{\circ }={\frac {2AE-BD}{B^{2}-4AC}}}
θ
=
arctan
B
A
−
C
{\displaystyle \theta =\arctan {\frac {B}{A-C}}}
Utilizzando il valore
Δ
{\displaystyle \Delta }
, dato dal seguente determinante:
Δ
=
det
[
A
B
2
D
2
B
2
C
E
2
D
2
E
2
F
]
{\displaystyle \Delta =\det {\begin{bmatrix}A&{\frac {B}{2}}&{\frac {D}{2}}\\{\frac {B}{2}}&C&{\frac {E}{2}}\\{\frac {D}{2}}&{\frac {E}{2}}&F\end{bmatrix}}}
=
A
C
F
+
B
D
E
4
−
C
D
2
4
−
A
E
2
4
−
B
2
F
4
{\displaystyle ACF+{\frac {BDE}{4}}-{\frac {CD^{2}}{4}}-{\frac {AE^{2}}{4}}-{\frac {B^{2}F}{4}}\;}
E' possibile riscrivere i coefficienti
a
,
b
{\displaystyle a,b}
utilizzando solamente i coefficienti dell'equazione dell'ellisse implicito, con le seguenti relazioni:
a
,
b
=
−
−
8
Δ
(
A
+
C
∓
(
A
−
C
)
1
+
B
2
(
A
−
C
)
2
)
B
2
−
4
A
C
{\displaystyle a,b=-{\frac {\sqrt {-8\Delta (A+C\mp (A-C){\sqrt {1+{\frac {B^{2}}{(A-C)^{2}}}}})}}{B^{2}-4AC}}}
L'equazione generale dell'ellisse avente i fuochi
F
1
(
x
F
1
,
y
F
1
)
{\displaystyle F_{1}(x_{F1},y_{F1})}
ed
F
2
(
x
F
2
,
y
F
2
)
{\displaystyle F_{2}(x_{F2},y_{F2})}
posti in posizione generica sul piano cartesiano e avente il semiasse maggiore denotato con
a
{\displaystyle a}
è data da
A
x
2
+
B
x
y
+
C
y
2
+
D
x
+
E
y
+
F
=
0
{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0}
dove i parametri
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
,
C
{\displaystyle C}
,
D
{\displaystyle D}
,
E
{\displaystyle E}
ed
F
{\displaystyle F}
sono uguali a
A
=
16
a
2
−
4
(
x
F
1
−
x
F
2
)
2
,
{\displaystyle A=16a^{2}-4(x_{F1}-x_{F2})^{2},}
B
=
−
8
(
x
F
1
−
x
F
2
)
(
y
F
1
−
y
F
2
)
,
{\displaystyle B=-8(x_{F1}-x_{F2})(y_{F1}-y_{F2}),}
C
=
16
a
2
−
4
(
y
F
1
−
y
F
2
)
2
,
{\displaystyle C=16a^{2}-4(y_{F1}-y_{F2})^{2},}
D
=
4
(
x
F
1
−
x
F
2
)
(
x
F
1
2
−
x
F
2
2
+
y
F
1
2
−
y
F
2
2
)
−
16
a
2
(
x
F
1
+
x
F
2
)
,
{\displaystyle D=4(x_{F1}-x_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(x_{F1}+x_{F2}),}
E
=
4
(
y
F
1
−
y
F
2
)
(
x
F
1
2
−
x
F
2
2
+
y
F
1
2
−
y
F
2
2
)
−
16
a
2
(
y
F
1
+
y
F
2
)
,
{\displaystyle E=4(y_{F1}-y_{F2})(x_{F1}^{2}-x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}-y_{F2}^{2})-16a^{2}(y_{F1}+y_{F2}),}
F
=
4
(
x
F
1
2
+
y
F
1
2
)
(
x
F
2
2
+
y
F
2
2
)
−
(
x
F
1
2
+
x
F
2
2
+
y
F
1
2
+
y
F
2
2
−
4
a
2
)
2
.
{\displaystyle F=4(x_{F1}^{2}+y_{F1}^{2})(x_{F2}^{2}+y_{F2}^{2})-(x_{F1}^{2}+x_{F2}^{2}+y_{F1}^{2}+y_{F2}^{2}-4a^{2})^{2}.}
Queste equazioni si ricavano dalla definizione metrica di ellisse:
(
x
−
x
F
1
)
2
+
(
y
−
y
F
1
)
2
+
(
x
−
x
F
2
)
2
+
(
y
−
y
F
2
)
2
=
2
a
{\displaystyle {\sqrt {(x-x_{F_{1}})^{2}+(y-y_{F_{1}})^{2}}}+{\sqrt {(x-x_{F_{2}})^{2}+(y-y_{F_{2}})^{2}}}=2a}
Dalla precedente equazione si eliminano le due radici con due elevamenti al quadrato e infine si uguagliano i coefficienti a quelli dell'equazione generale delle coniche.