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Rappresentazione matriciale delle coniche

Invarianti delle conicheModifica

È possibile definire tre valori associati ad ogni conica, che si definiscono invarianti. Data una conica di equazione:

 

è possibile associare due matrici A e B:

 

da cui vengono estrapolati tre numeri:

  • l'invariante cubico  , determinante della matrice  :
  =  
  • l'invariante quadratico  , determinante della matrice  :
  =  
  • l'invariante lineare  , traccia della matrice  :
  =  

L'appellativo "invariante" deriva dal fatto che applicando alla conica una traslazione qualsiasi e/o una rotazione qualsiasi, questi numeri non cambiano.

Gli appellativi "cubico", "quadratico" e "lineare" derivano dal fatto che moltiplicando entrambi i membri dell'equazione della conica per un numero reale non nullo p, gli invarianti risultano moltiplicati rispettivamente per  ,   e  . Data l'equazione della conica  , detti  ,   e   gli invarianti di tale conica e detti  ,   e   gli invarianti della conica di equazione   con  , si hanno le seguenti identità:

  (invariante cubico)

  (invariante quadratico)

  (invariante lineare)

Classificazione metrica delle conicheModifica

Basandosi sugli invarianti è possibile classificare le coniche, e quindi stabilire che tipo di oggetto sia, se:

  •   la conica è degenere e, in particolare, se:
    •  , si riduce a due rette reali distinte
    •  , si riduce a
      • coppia di rette reali distinte parallele oppure complesse coniugate senza punti comuni (rango matrice completa =2)
      • coppia di rette reali coincidenti (rango matrice completa =1)
    •  , si riduce a due rette immaginarie coniugate.
  •   la conica è non degenere e, in particolare, se:
    •   è un'iperbole
      • equilatera se  
      • non equilatera se  
    •   è una parabola
    •   è un'ellisse
      • reale se è  
      • immaginaria se è  

Ad esempio, la conica di equazione: , avendo   e  , è una conica degenere in due rette reali distinte:   e  .

Riduzione di una conica a forma canonicaModifica

Essendo fornita l'equazione di una conica del tipo

 

è possibile agire sui coefficienti, tramite gli invarianti, per ottenere la forma canonica della conica. Per forma canonica di una conica, si intende:

  • per l'ellisse: deve avere come centro l'origine degli assi cartesiani e i suoi fuochi devono essere sull'asse   o sull'asse  
  • per la parabola: deve avere vertice nell'origine e come asse uno degli assi cartesiani
  • per l'iperbole: deve avere centro nell'origine degli assi e i fuochi devono appartenere all'asse   o all'asse  .

In generale un'equazione del tipo: , fornisce una conica rototraslata rispetto all'origine degli assi: bisogna quindi ruotare la conica (1º passo) e poi traslarla fino a portare il centro o il vertice nell'origine (2º passo).

  • 1º passo: la rotazione della conica si ottiene tramite l'annullamento del coefficiente di  , cioè  .

Dopo questa operazione, la conica si riduce nella forma  , in cui   e   si ottengono nel seguente modo: bisogna diagonalizzare la matrice

 

e si otterrà la matrice

 

con   e   autovalori della matrice diagonale.

  e   sono i coefficienti dei termini quadratici dell'equazione della conica. Nel caso della parabola, o   o   sarà nullo, in quanto nell'equazione è presente un solo termine quadratico.

  • 2º passo: con la traslazione, se la conica è a centro (un'ellisse o un'iperbole), si ottiene un'equazione del tipo:   in cui   e   sono i valori ricavati con il passo precedente, mentre   si ottiene nella maniera seguente:

  .

Se la conica è una parabola, si ottiene un'equazione del tipo:   in cui:   è l'autovalore non nullo e   con   invariante cubico. Notiamo esplicitamente che per le parabole:  

EsempiModifica

EllisseModifica

 
Conica di equazione  
 
Canonica della conica  

È data la conica di equazione  ; studiando i determinanti di   e   scopriamo che è un'ellisse. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'ellisse:

 

Poiché il centro si trova già nell'origine non ci sarà bisogno di traslare la conica. Per ottenere la forma canonica dobbiamo ruotare la conica diagonalizzando  ; gli autovalori della forma quadratica sono 5 e 10 e gli autovettori rispettivi sono (1,2) e (-2,1). Incolonnando questi autovettori opportunamente normalizzati in una matrice   otteniamo una matrice di rotazione (destrorsa, poiché  ):

 

Poiché  , si può scrivere:

 

Andando a sostituire nell'equazione originale della conica otteniamo la nuova equazione  , che è la stessa conica di partenza ruotata però in maniera da avere i fuochi (in questo caso) sull'asse  . La forma canonica della nostra conica è  , con fuochi  

IperboleModifica

 
Conica di equazione  
 
Canonica della conica  

È data la conica di equazione  ; studiando i determinanti di   e   scopriamo che è un'iperbole. Controllando le derivate parziali dell'equazione, mettendole a sistema ed uguagliandole a 0, otteniamo l'attuale centro dell'iperbole:

 

Gli asintoti sono le rette passanti per   parallele a quelle ottenute scomponendo la forma quadratica della conica:

 
 
 

Per ottenere la forma canonica si può impiegare la formula

 ,

con   autovalori di   ed è:

 

I nuovi asintoti sono le due rette aventi forma   e passanti per l'origine:

 
 

I fuochi della forma canonica hanno forma   e sono dunque:

 
 

ParabolaModifica

 
Conica di equazione  
 
Canonica della conica  

È data la conica di equazione  ; studiando   e   scopriamo che è una parabola. Diagonalizzando   troviamo come autovalori 0 e 2 e come autovettori rispettivi (1,-1) e (1,1). Per trovare il vertice   intersechiamo la parabola con una retta ortogonale all'asse della conica: poiché l'asse della parabola è una retta passante per il vertice   di direzione parallela all'autovettore relativo all'autovalore nullo (in questo caso (1,-1)), una retta ad essa parallela è senz'altro  , quindi una retta ad essa ortogonale è  . Dall'intersezione si trovano i punti  (0,0) e  (2,2); il loro punto medio  (1,1) si trova sull'asse. L'asse è quindi la retta parallela a   passante per   ed è  . Intersecando ora l'asse con la parabola troviamo il vertice:  . Traslando in modo che   sia centrato sull'origine:

 

l'equazione diventa:

 

La matrice   è matrice di rotazione composta dai due autovettori normalizzati (autoversori):

 

Poiché  , si può scrivere:

 

Andando a sostituire otteniamo la forma canonica  , con fuoco   e direttrice  

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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