Utente:Itrucid/Sandbox2

Dandogli abbastanza tempo, un ipotetico scimpanzé premendo i tasti a caso would, arriverà quasi sicuramente a scrivere tutte le opere di Shakespeare. N.B: Lo scimpanzé non è una scimmia ma un Hominoidea

Il Teorema della scimmia instancabile afferma che una scimmia che prema a caso i tasti sulla tastiera per un tempo infinitamente lungo arriverà quasi sicuramente a scrivere un qualsiasi testo dato. I francofoni prendono come esempio i libri della Biblioteca Nazionale di Francia mentre gli anglofoni le opere di William Shakespeare.

In questo contesto, "quasi sicuramente" è un termine matematico con un significato ben preciso e la scimmia non è una vera e propria scimmia, ma una metafora per un dispositivo immaginario che produce una sequenza astratta di lettere ad infinitum. Il teorema illustra il pericolo di ragionare sull'infinito immaginando un vasto ma finito numero di oggetti e viceversa. La probabilità che una scimmia scriva esattamente un testo dato, ad esempio l'Amleto di Shakespeare, durante un periodo di tempo dell'ordine dell'età dell'universo è minuscola, ma non pari a zero.

Alcune varianti del teorema includono molti e anche infiniti "scrittori", e il testo obbiettivo varia da un un intero libro a una sola frase. La storia di questo teorema può essere ripercorsa fino ad Aristotele con il libro Sulla generazione e corruzione e a Cicerone con il De natura deorum, passando per Blaise Pascal e Jonathan Swift e infine alla formulazione moderna. Agli inizi del 20esimo secolo Émile Borel e Arthur Eddington utilizzarono il teorema per illustrare i termini impliciti nelle fondamenta della meccanica statistica.

L'interesse popolare delle scimmie che digitano è sostenuto dalle numerose apparizioni in letteratura, televisione, radio, musica e Internet. Nel 2003 fu eseguito un esperimento con sei Macaca nigra. Il loro contributo letterario è costituito da 5 pagine riempite in larga parte dalla lettera 'S'.

Soluzione

Prova diretta

C'è una semplice dimostrazione per questo teorema. Se due eventi sono indipendenti, allora la probabilità che accadano entrambi è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. Per esempio, se la probabilità che a Roma piova in un dato giorno è 0,3 (30%) e la probabilità che sempre in un dato giorno ci sia un terremoto a San Francisco è 0,008 (0,8%), la probabilità che avvengano entrambi gli eventi nello stesso giorno è $0.3\times 0.008=0.0024\left(0,24\%\right)$

Supponiamo che la macchina da scrivere utilizzata abbia 50 tasti e che la parola da scrivere sia banana. Se assumiamo che i tasti siano premuti in modo casuale ed indipendente, allora la probabilità che la prima lettera premuta sia la 'b' è 1/50, la probabilità che la seconda lettera premuta sia la 'a' è di nuovo 1/50 e così via. Perciò, la probabilità che la prima parola scritta sia banana ovvero che vengano scritte, nell'ordine, le lettere b, a, n, a, n, a è

${\frac {1}{50}}\times {\frac {1}{50}}\times {\frac {1}{50}}\times {\frac {1}{50}}\times {\frac {1}{50}}\times {\frac {1}{50}}=\left({\frac {1}{50}}\right)^{6}=1/15625000000$

cioè meno di una su 15 miliardi. Per la stessa ragione, la probabilità che le successive sei lettere corrispondano a banana è sempre meno di 1 su 15 miliardi, e così via.

Da quanto sopra, la probabilità di non scrivere banana in un certo blocco di sei lettere è $1-\left({\frac {1}{50}}\right)^{6}$. Dato che ogni blocco è scritto indipendentemente, la probabilità X_n di non scrivere banana in nessuno dei primi n blocchi di sei lettere è

$X_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}$

Al crescere di n, X_n diminuisce. Con n = 1.000.000 (1 milione) X_n è circa 0,9999, ma con n = 10.000.000.000 (10 miliardi) X_n è circa 0,53 e con n = 100.000.000.000 (100 miliardi) è circa 0,0017 (0,17%). Per n tendente ad infinito (cioè quando n assume valori sempre più grandi), la probabilità X_n tende a zero; questo significa X_n può essere reso tanto piccolo quanto si vuole, semplicemente aumentando n: in questo modo la probabilità di scrivere banana almeno una volta si avvicina al 100%.

La stessa argomentazione mostra come mai almeno una delle infinite scimmie produrrà il testo tanto velocemente quanto lo produrebbe un dattilografo umano esperto copiandolo dall'originale. In questo caso X_n = (1 − (1/50)⁶)ⁿ dove X_n rappresenta la probabilità che nessuna delle scimmie scriva correttamente banana la prima volta. Considerando 100 miliardi di scimmie la probabilità è circa lo 0,17% ed all'aumentare del numero di scimmie n, la probabilità che le scimmie falliscano nel riprodurre correttamente la prima volta il testo dato X_n si avvicina sempre più a zero (tende a zero). Il limite, per n tendente all'infinito è zero.

Comunque per un numero fisicamente possibile di scimmie che scrivono e per un tempo fisicamente possibile, i risultati sono capovolti. Se ci fossero tante scimmie quante sono le particelle nell'universo osservabile (circa 10⁸⁰), e se ognuna scrivesse una lettera al secondo per 100 volte la vita dell'universo (circa 10²⁰ secondi), la probabilità che le scimmie replichino anche un piccolo libro è praticamente zero. Vedi sotto la sezione Probabilità.

Stringhe infinite

Le due dichiarazioni sopra possono essere formulate in modo più generico e compatto in termini di stringhe, sequenze di caratteri scelti da un alfabeto finito:

• Data una stringa infinita dove ogni carattere è scelto uniformemente a caso, ogni stringa finita data è quasi sicuramente una sottostringa in una qualche posizione.
• Data un infinita sequenza di infinite stringhe, dove ogni carattere di ogni stringa è scelto uniformemente a caso, ogni stringa finita data è quasi sicuramente un prefisso di una di queste stringhe.

Entrambi seguono dal secondo Lemma di Borel-Cantelli. Per il secondo teorema, sia E_k l'evento che la k-esima stringa inizi con il testo dato. Dato che questo ha una probabilità fissa diversa da zero p di accadere, e E_k è indipendente e la somma sotto diverge:

$\sum _{k=1}^{\infty }P(E_{k})=\sum _{k=1}^{\infty }p=\infty$

la probabilità che all'infinito molti degli eventi E_k si verifichino è 1 (100%). Il primo teorema è mostrato in modo simile; è possibile dividere la stringa casuale in blocchi non sovrapposti che combacino con la dimensione del testo desiderato e rendano E_k l'evento dove il k-esimo blocco sia uguale alla stringa desiderata.

Probabilità

Ignorando la punteggiatura, lo spazio e le lettere maiuscole, la scimmia, premendo tasti a caso, ha una possibilità su 26 di di scrivere correttamente la prima lettera di un opera, ad esempio Amleto di William Shakespeare. Per il Teorema della probabilità composta ha una possibilità su 676 (26 × 26) di scrivere correttamente le prima due lettere. Poichè la probabilità si riduce in modo esponenziale, a 20 lettere la probabilità crolla ad una possibilità su 26²⁰ = 19.928.148.895.209.409.152.340.197.376 (quasi 2 × 10²⁸). In caso dell'intero testo di Amleto, la probabilità è tanto bassa da poter essere a mala pena immaginata in termini umani. Il testo dell'opera in questione contiene circa 130.000 lettere. Perciò c'è una possibilità su 3.4 × 10^183.946 di ottenere il testo corretto alla prima prova. 3.4 × 10^183.946 è anche il numero medio di lettere da scrivere prima che appaia il testo corretto. Considerando anche la punteggiatura, il numero sale a 4.4 × 10^360.783.

Anche se tutto l'universo osservabile fosse riempito con scimmie che scrivono sulla tastiera, per un tempo che va da ora alla morte termica dell'universo, la probabilità di produrre l'Amleto sarebbe comunque minore di 1 su 10^183.800. Come dicevano Kittel e Kroemer, "La probabilità di Amleto è perciò zero in ogni senso operativo di un evento..." e dire che le scimmie potrebbero riuscirvi "fornisce una conclusione ingannevole nei confronti dei numeri molto molto grandi."

Storia

Meccanica statistica

Il teorema apparve in una delle forme oggi più conosciute, con le scimmie "dattilografe", nell'articolo di Émile Borel del 1913 intitolato "Mécanique Statistique et Irréversibilité" (Meccanica statistica e irreversibilità), e poi nel 1914 nel suo libro Le Hasard. Le scimmie di cui tratta Borel non sono vere scimmie, ma una metafora per un modo immaginario di produrre enormi sequenze casuali di lettere. Borel affermò che se anche un milione di scimmie scrivesse per dieci ore al giorno, sarebbe stato alquanto improbabile che il loro risultato fosse esattamente uguale ai libri di tutte le librerie del mondo; e ancora, sarebbe stato ancora più improbabile che le leggi della meccanica statistica potessero essere violate, anche per poco.

Il fisico Arthur Eddington scrisse riguardo la metafora di Borel nel suo The Nature of the Physical World (La natura del mondo fisico), pubblicato nel 1928:

«Se lascio che le mie dita vaghino oziosamente sopra i tasti di una macchina da scrivere, potrebbe accadere che il mio movimento produca una frase comprensibile. Se un esercito di scimmie scrivesse su macchine da scrivere, potrebbero scrivere tutti i libri nel British Museum. Le probabilità che riescano in questo compito sono molto più favorevoli di quelle di una molecola che ritorna in una metà del recipiente.»

Queste immagini invitano il lettore a considerare l'incredibile improbabilità di un enorme ma finito numero di scimmie che lavorino per un enorme ma finito periodo di tempo producendo un lavoro significativo e di comparare tale improbabilità all'improbabilità ancora più grande che avvengano certi fenomeni fisici. Tutti i processi fisici che è ancora meno probabile della riuscita delle scimmie sono nella pratica impossibili e potremmo affermare con sicurezza che tali processi non avverranno mai.

Origins and "The Total Library"

In a 1939 essay entitled "The Total Library", Argentine writer Jorge Luis Borges traced the infinite-monkey concept back to Aristotle's Metaphysics. Explaining the views of Leucippus, who held that the world arose through the random combination of atoms, Aristotle notes that the atoms themselves are homogeneous and their possible arrangements only differ in shape, position and ordering. In De Generatione et Corruptione (On Generation and Corruption), the Greek philosopher compares this to the way that a tragedy and a comedy consist of the same "atoms", i.e., alphabetic characters. Three centuries later, Cicero's De natura deorum (On the Nature of the Gods) argued against the atomist worldview:

«He who believes this may as well believe that if a great quantity of the one-and-twenty letters, composed either of gold or any other matter, were thrown upon the ground, they would fall into such order as legibly to form the Annals of Ennius. I doubt whether fortune could make a single verse of them.»

Borges follows the history of this argument through Blaise Pascal and Jonathan Swift, then observes that in his own time, the vocabulary had changed. By 1939, the idiom was "that a half-dozen monkeys provided with typewriters would, in a few eternities, produce all the books in the British Museum." (To which Borges adds, "Strictly speaking, one immortal monkey would suffice.") Borges then imagines the contents of the Total Library which this enterprise would produce if carried to its fullest extreme:

«Everything would be in its blind volumes. Everything: the detailed history of the future, Aeschylus' The Egyptians, the exact number of times that the waters of the Ganges have reflected the flight of a falcon, the secret and true nature of Rome, the encyclopedia Novalis would have constructed, my dreams and half-dreams at dawn on August 14, 1934, the proof of Pierre Fermat's theorem, the unwritten chapters of Edwin Drood, those same chapters translated into the language spoken by the Garamantes, the paradoxes Berkeley invented concerning Time but didn't publish, Urizen's books of iron, the premature epiphanies of Stephen Dedalus, which would be meaningless before a cycle of a thousand years, the Gnostic Gospel of Basilides, the song the sirens sang, the complete catalog of the Library, the proof of the inaccuracy of that catalog. Everything: but for every sensible line or accurate fact there would be millions of meaningless cacophonies, verbal farragoes, and babblings. Everything: but all the generations of mankind could pass before the dizzying shelves—shelves that obliterate the day and on which chaos lies—ever reward them with a tolerable page.»

Borges's total library concept was the main theme of his widely read 1941 short story "The Library of Babel", which describes an unimaginably vast library consisting of interlocking hexagonal chambers, together containing every possible volume that could be composed from the letters of the alphabet and some punctuation characters.

Applications and criticisms

Evolution

Thomas Huxley is sometimes misattributed with proposing a variant of the theory in his debates with Samuel Wilberforce.

In his 1931 book The Mysterious Universe, Eddington's rival James Jeans attributed the monkey parable to a "Huxley", presumably meaning Thomas Henry Huxley. This attribution is incorrect. Today, it is sometimes further reported that Huxley applied the example in a now-legendary debate over Charles Darwin's On the Origin of Species with the Anglican Bishop of Oxford, Samuel Wilberforce, held at a meeting of the British Association for the Advancement of Science at Oxford in June 30, 1860. This story suffers not only from a lack of evidence, but the fact that in 1860 the typewriter itself had yet to emerge.

Despite the original mix-up, monkey-and-typewriter arguments are now common in arguments over evolution. For example, Doug Powell argues as a Christian apologist that even if a monkey accidentally types the letters of Hamlet, it has failed to produce Hamlet because it lacked the intention to communicate. His parallel implication is that natural laws could not produce the information content in DNA. A more common argument is represented by Reverend John F. MacArthur, who claims that the genetic mutations necessary to produce a tapeworm from an amoeba are as unlikely as a monkey typing Hamlet's soliloquy, and hence the odds against the evolution of all life are impossible to overcome.

Evolutionary biologist Richard Dawkins employs the typing monkey concept in his 1986 book The Blind Watchmaker to demonstrate the ability of natural selection to produce biological complexity out of random mutations. In a simulation experiment Dawkins has his weasel program produce the Hamlet phrase METHINKS IT IS LIKE A WEASEL, starting from a randomly typed parent, by "breeding" subsequent generations and always choosing the closest match from progeny that are copies of the parent, with random mutations. The random choices furnish raw material, while cumulative selection imparts information.

A different avenue for rejecting the analogy between evolution and an unconstrained monkey lies in the problem that the monkey types only one letter at a time, independently of the other letters. Hugh Petrie argues that a more sophisticated setup is required, in his case not for biological evolution but the evolution of ideas:

«In order to get the proper analogy, we would have to equip the monkey with a more complex typewriter. It would have to include whole Elizabethan sentences and thoughts. It would have to include Elizabethan beliefs about human action patterns and the causes, Elizabethan morality and science, and linguistic patterns for expressing these. It would probably even have to include an account of the sorts of experiences which shaped Shakespeare's belief structure as a particular example of an Elizabethan. Then, perhaps, we might allow the monkey to play with such a typewriter and produce variants, but the impossibility of obtaining a Shakespearean play is no longer obvious. What is varied really does encapsulate a great deal of already-achieved knowledge.»

James W. Valentine, while admitting that the classic monkey's task is impossible, finds that there is a worthwhile analogy between written English and the metazoan genome in this other sense: both have "combinatorial, hierarchical structures" that greatly constrain the immense number of combinations at the alphabet level.

Literary theory

R. G. Collingwood argued in 1938 that art cannot be produced by accident, and wrote as a sarcastic aside to his critics,

«…some … have denied this proposition, pointing out that if a monkey played with a typewriter … he would produce … the complete text of Shakespeare. Any reader who has nothing to do can amuse himself by calculating how long it would take for the probability to be worth betting on. But the interest of the suggestion lies in the revelation of the mental state of a person who can identify the 'works' of Shakespeare with the series of letters printed on the pages of a book…»

Nelson Goodman took the contrary position, illustrating his point along with Catherine Elgin by the example of Borges' “Pierre Menard, Author of the Quixote”,

«What Menard wrote is simply another inscription of the text. Any of us can do the same, as can printing presses and photocopiers. Indeed, we are told, if infinitely many monkeys … one would eventually produce a replica of the text. That replica, we maintain, would be as much an instance of the work, Don Quixote, as Cervantes' manuscript, Menard's manuscript, and each copy of the book that ever has been or will be printed.»

In another writing, Goodman elaborates, "That the monkey may be supposed to have produced his copy randomly makes no difference. It is the same text, and it is open to all the same interpretations…." Gérard Genette dismisses Goodman's argument as begging the question.

For Jorge J. E. Gracia, the question of the identity of texts leads to a different question, that of author. If a monkey is capable of typing Hamlet, despite having no intention of meaning and therefore disqualifying itself as an author, then it appears that texts do not require authors. Possible solutions include saying that whoever finds the text and identifies it as Hamlet is the author; or that Shakespeare is the author, the monkey his agent, and the finder merely a user of the text. These solutions have their own difficulties, in that the text appears to have a meaning separate from the other agents: what if the monkey operates before Shakespeare is born, or if Shakespeare is never born, or if no one ever finds the monkey's typescript?

Random number generation

The theorem concerns a thought experiment which cannot be fully carried out in practice, since it is predicted to require prohibitive amounts of time and resources. Nonetheless, it has inspired efforts in finite random text generation.

One computer program run by Dan Oliver of Scottsdale, Arizona, according to an article in The New Yorker, came up with a result on August 4, 2004: After the group had worked for 42,162,500,000 billion billion monkey-years, one of the "monkeys" typed, “VALENTINE. Cease toIdor:eFLP0FRjWK78aXzVOwm)-‘;8.t" The first 19 letters of this sequence can be found in "The Two Gentlemen of Verona". Other teams have reproduced 18 characters from "Timon of Athens", 17 from "Troilus and Cressida", and 16 from "Richard II".

A website entitled The Monkey Shakespeare Simulator, launched on July 1, 2003, contained a Java applet that simulates a large population of monkeys typing randomly, with the stated intention of seeing how long it takes the virtual monkeys to produce a complete Shakespearean play from beginning to end. For example, it produced this partial line from Henry IV, Part 2, reporting that it took "2,737,850 million billion billion billion monkey-years" to reach 24 matching characters:

RUMOUR. Open your ears; 9r"5j5&?OWTY Z0d...

Due to processing power limitations, the program uses a probabilistic model (by using a random number generator or RNG) instead of actually generating random text and comparing it to Shakespeare. When the simulator "detects a match" (that is, the RNG generates a certain value or a value within a certain range), the simulator simulates the match by generating matched text.

Questions about the statistics describing how often an ideal monkey should type certain strings can motivate practical tests for random number generators as well; these range from the simple to the "quite sophisticated". Computer science professors George Marsaglia and Arif Zaman report that they used to call such tests "overlapping m-tuple tests" in lecture, since they concern overlapping m-tuples of successive elements in a random sequence. But they found that calling them "monkey tests" helped to motivate the idea with students. They published a report on the class of tests and their results for various RNGs in 1993.

Real monkeys

Primate behaviorists Cheney and Seyfarth remark that real monkeys would indeed have to rely on chance to have any hope of producing Romeo and Juliet. Unlike apes and particularly chimpanzees, the evidence suggests that monkeys lack a theory of mind and are unable to differentiate between their own and others' knowledge, emotions, and beliefs. Even if a monkey could learn to write a play and describe the characters' behavior, it could not reveal the characters' minds and so build an ironic tragedy.

In 2003, lecturers and students from the University of Plymouth MediaLab Arts course used a £2,000 grant from the Arts Council to study the literary output of real monkeys. They left a computer keyboard in the enclosure of six Celebes Crested Macaques in Paignton Zoo in Devon in England for a month, with a radio link to broadcast the results on a website. One researcher, Mike Phillips, defended the expenditure as being cheaper than reality TV and still "very stimulating and fascinating viewing".

Not only did the monkeys produce nothing but five pages consisting largely of the letter S, the lead male began by bashing the keyboard with a stone, and the monkeys continued by urinating and defecating on it. Phillips said that the artist-funded project was primarily performance art, and they had learned "an awful lot" from it. He concluded that monkeys "are not random generators. They're more complex than that. … They were quite interested in the screen, and they saw that when they typed a letter, something happened. There was a level of intention there."

Cultura popolare

Il teorema della scimmia instancabile è considerato una proverbiale illustrazione della teoria delle probabilità, ampiamente conosciuta al pubblico grazie alla cultura popolare piuttosto che alla scuola. Il teorema, insieme all'immaginario collegato, è considerato una proverbiale illustrazione della Teoria della probabilità, spesso conosciuta tramite la cultura popolare, piuttosto che dalla scuola.

È stato menzionato e usato come una sorta di scherzo nel romanzo Guida galattica per autostoppisti di Douglas Adams. Nel capitolo 9:

«Ford! Di fuori c'è un infinito numero di scimmie che vogliono parlarci del copione di Amleto che hanno realizzato.»

Nell'episodio "Ultima fermata per Springfield" del cartone I Simpsons, Mr. Burns afferma: "Queste sono un mille scimmie che lavorano su mille macchine da scrivere. In poco tempo avranno scritto i più celebri romanzi conosciuti all'uomo. Vediamo... 'È stato il migliore dei tempi, è stato il "più sfocato" dei tempi'? Stupide scimmie!"

La diffusa e duratura fama del teorema venne notata nell'introduzione di un articolo del 2011, intitolato Monkeys, Typewriters and Networks: The Internet in the Light of the Theory of Accidental Excellence (Scimmie, Macchine da scrivere e Reti: Internet alla luce della teoria dell'eccellenza accidentale) di Hoffmann e Hoffman. Nel 2002, un articolo sul Washington Post affermava "Un gran numero di persone si sono divertite sapendo che un infinito numero di scimmie con un infinito numero di macchine da scrivere e un infinito periodo di tempo potrebbe scrivere tutte le opere di Shakespeare." Nel 2003, il sopracitato Arts Council England ha organizzato un esperimento con vere scimmie e tastiere di computer, che ha ricevuto un'ampia copertura mediatica. Nel 2007, il teorema venne inserito da Wired nella lista di 8 classici esperimenti mentali.

Link esterni

• Ask Dr. Math article, Agosto 1998, Adam Bridge
• The Parable of the Monkeys, una bibliografia con citazioni
• Planck Monkeys, sul popolare il cosmo con particelle di scimmia
• PixelMonkeys.org - L'applicazione di Matt Kane per la creazione di un'immagine secondo il Teorema della scimmia instancabile