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In matematica, il concetto di limite serve a descrivere l'andamento di una funzione all'avvicinarsi del suo argomento a un dato valore (limite di una funzione) oppure l'andamento di una successione al crescere illimitato dell'indice (limite di una successione). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell'analisi matematica; sono usati ad esempio per definire la continuità, la derivazione e l'integrazione.

Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro.

Cenni storiciModifica

Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton, Leibniz, Eulero e D'Alembert.

La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy, seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass.

Una completa teoria del limite si ha con Heine, che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all'epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi si sono interessati al problema del limite, approfondendo l'argomento con lo studio dell'analisi infinitesimale, tra cui Bolzano, Dedekind e Cantor.

Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed H.L. Smith diedero una nozione generale (topologica) di limite[1], ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937, Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro.

Limite di una successioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una successione.

Una successione   di numeri reali ha come limite il numero   se al crescere di   i termini della successione "sono arbitrariamente vicini" al valore  . Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni   piccolo a piacere esista un numero naturale   tale che   per ogni  .

Una successione può non avere limite, ad esempio  , data da:

 

non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite  , si dice che la successione converge ad  ; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione  , data da:

 

converge a zero.

Considerando uno spazio topologico  , una successione   con   tende al limite   se, comunque si prenda un intorno   di  , esiste un   tale per cui   per tutti gli  , e si scrive:

 

Se   è uno spazio di Hausdorff il limite di   con  , se esiste, è unico.

Limite di una funzioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite di una funzione.

Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico  ; si considera la successione una funzione   nello spazio topologico   con la topologia discreta. In tale definizione, un intorno di   ha la forma  .

Siano dati una funzione   definita su un sottoinsieme   della retta reale   ed un punto di accumulazione   di  . Un numero reale   è il limite di   per   tendente a   se la distanza fra   ed   è arbitrariamente piccola quando   si avvicina a  .

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi   è la distanza fra   e   e   è la distanza fra   ed  . Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente,   è limite se per ogni numero reale   piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo   tale che:

  per ogni   in   con  .

In questo caso si scrive:

 

La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua.

Limite di un ultrafiltroModifica

Dato uno spazio topologico  , un punto   è il limite di un ultrafiltro   su   se ogni intorno di   appartiene a  .

Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione   tra spazi topologici e un filtro   su  . Il punto   è il limite di   in   rispetto ad   se   è il limite di   e   è il limite di  . Si scrive in tal caso:

 

Limite insiemisticoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Limite insiemistico.

Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore: data una successione di insiemi  , l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:

 

NoteModifica

  1. ^ Si veda Moore, Smith A General Theory of Limits

BibliografiaModifica

  • (EN) Moore E.H., Smith H.L., "A General Theory of Limits". American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121 (1922).
  • (EN) Miller, N. Limits: An Introductory Treatment. Waltham, MA: Blaisdell, 1964.
  • (EN) Gruntz, D. On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System. Doctoral thesis. Zürich: Swiss Federal Institute of Technology, 1996.
  • (EN) Hight, D. W. A Concept of Limits. New York: Prentice-Hall, 1966.
  • (EN) Kaplan, W. "Limits and Continuity." §2.4 in Advanced Calculus, 4th ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82–86, 1992.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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