Utente:Lucatancredi/Abel

(EN)

«Divergent series are on the whole devil's work, and it is a shame that one dares to found any proof on them. One can get out of them what one wants if one uses them, and it is they which have made so much unhappiness and so many paradoxes. Can one think of anything more appalling than to say that $0=1-2^{n}+3^{n}-4^{n}+\ldots$ where n is a positive number. Here's something to laugh at, friends.»

(IT)

«Le serie divergenti sono tutte lavoro del diavolo, ed è una vergogna cercare ipotesi e teorie su di esse. Si può trarre qualsiasi cosa da esse se si vuole veramente usarle, e questo le rende così infelici e paradossali. Si possono pensare cose molto più scioccanti se però si dice che $0=1-2^{n}+3^{n}-4^{n}+\ldots$ dove n è un numero positivo. Qui c'è da ridere, amici.»

Niels Henrik Abel (Finnøy, 5 agosto 1802 – Froland, 6 aprile 1829) è stato un matematico norvegese, noto soprattutto per i suoi studi sull'algebra e sulla teoria delle funzioni.

Contesto storico

La vita di Abel fu dominata dalla povertà a causa del contesto economico norvegese del periodo. Alla fine del XVIII secolo la Norvegia faceva parte della Danimarca e i danesi avevano deciso di rimanere neutrali durante le guerre napoleoniche. Ciononostante un trattato di neutralità del 1794 fu interpretato dalla Gran Bretagna come un atto aggressivo e nel 1801 la maggior parte della [[flotta] danese fu distrutta durante una battaglia presso il porto di Copenaghen. Pur avendo cercato di evitare la guerra fino al 1807, per timore che la flotta danese fosse usata in supporto di quella francese, la Gran Bretagna decise di attaccare la Danimarca nell'ottobre del 1807, distruggendone completamente la flotta. Una grave crisi economica colpì la Norvegia che non potè più esportare il legname nell'Europa continentale e in particolare alla Gran Bretagna, principale acquirente, e non potè importare il grano necessario al fabbisogno degli abitanti. Nel 1813 la Svezia attaccò la Danimarca da sud e a seguito del trattato di Kiel del 1814, la Danimarca consegnò la Norvegia alla Svezia. Un tentativo di indipendenza della Norvegia qualche mese dopo portò la Svezia ad attaccare la Norvegia nel Luglio del 1814. La Svezia recuperò il controllo sulla Norvegia instaurando un governo sotto il suo diretto controllo con sede a Cristiania (l'attuale Oslo). In questo contesto difficile crebbe Abel.

Vita

Abel nacque il 5 Agosto del 1802 nel villaggio di Findoe, nella diocesi di Christiansand. Dal lato paterno parecchi antenati si distinsero come ecclesiastici così come pure il padre e tutti erano istruiti. La madre di Abel, Anna-Maria Simonsen era nota per la sua bellezza e Abel ne ereditò l’aspetto. A tredici anni si iscrisse alla Scuola Cattedrale di Cristiania, scuola molto impegnativa, assieme al fratello maggiore. In quel periodo la scuola non aveva buoni insegnanti; i migliori infatti erano stati chiamati ad all'università di Cristiania, aperta all'insegnamento a partire dal 1813. L’ingegno di Abel si manifestò presto. Il maestro di scuola, molto severo, fu mandato via a causa dei metodi brutali che causarono il decesso di un bambino e fu sostituito da un matematico modesto, ma di valore, Berndt Michael Holmboë (1795-1850), che pubblicò nel 1839 la prima edizione della raccolta delle opere di Abel. Sotto la guida del maestro Holmboë cominciò ad assimilare completamente le grandi opere dei suoi predecessori, compreso qualche lavoro di Newton, Eulero e Lagrange; da quel momento la matematica costituì la sua principale occupazione, ma soprattutto il suo più grande divertimento. In particolare approfondì lo studio delle Disquisitiones Aritmeticae di Gauss. Abel, con il suo spirito critico, fu uno dei primi a scoprire le lacune nei ragionamenti dei suoi predecessori e già in giovine età maturò il desiderio di colmarle. Divenne famosa, in seguito alla sua morte, la massima:

"Imparare dai maestri e non dai discepoli"

Uno dei suoi lavori in quest’ordine di idee è la prima dimostrazione del teorema generale del binomio, inserito nel più vasto ambito della teoria e delle applicazioni della serie infinita.

Il padre di Abel morì nel 1820, per cui la responsabilità e il peso di tutta la famiglia caddero sulle sue spalle; per far fronte alle esigenze familiari dava lezioni private consacrando i pochi momenti di libertà alle sue ricerche matematiche. L’ingresso all’Università avvenne nel 1821 con voti mediocri eccetto in matematica. Convinto di avere a che fare con uno dei più grandi matematici di tutti i tempi, Holmboë faceva tutto il possibile per procurargli dei sussidi; in quegli stessi anni Abel contrasse i germi della malattia che lo portarono alla morte prematuramente. La sua prima impresa fu cercare la soluzione dell’equazione generale di quinto grado, problema non ancora risolto dai predecessori, e arrivò alla conclusione che una qualsiasi soluzione algebrica di tale equazione era impossibile. In questo periodo si propose di studiare i seguenti due problemi tra loro collegati:

1) trovare tutte le equazioni di qualsiasi grado dato, che possono essere risolte algebricamente

2) determinare se una equazione data può o meno essere risolta algebricamente.

Tuttavia fu [Galois] a fornire le condizioni necessarie e sufficienti affinché un’equazione algebrica potesse essere risolta algebricamente. La Scandinavia diventò presto troppo piccola per Abel che voleva visitare la Francia e incontrare Gauss in Germania. I colleghi di Abel spinsero l’università a far appello al governo norvegese perché concedesse un sussidio al fine di permettergli di effettuare un suo giro scientifico in Europa. Per influenzare favorevolmente le autorità Abel presentò una memoria che probabilmente conteneva le questioni che gli fruttarono in seguito una grandissima fama; disgraziatamente l’università la smarrì. Il governo si limitò a concedergli un sussidio non sufficiente per il viaggio che avrebbe voluto compiere ma che gli permise di continuare gli studi presso l’università di Cristiania allo scopo di perfezionarsi in francese e tedesco. A ventitré anni il governo accordò i fondi sufficienti per il suo viaggio scientifico. Dopo aver deciso di non visitare Gauss, che non aveva preso nella giusta considerazione la memoria che Niels Henrik gli aveva mandato sull’impossibilità della risoluzione algebrica dell’equazione di quinto grado, Abel si recò a Berlino dove conobbe Augusto Leopoldo Crelle (1780-1856), matematico che ebbe il merito di fondare un’importante rivista dove nei primi tre volumi furono pubblicate ventidue memorie di Abel, grazie alle quali la rivista si affermò come la migliore dell’epoca nell’ambito matematico. Dopo una sosta a Berlino in cui frequenti erano gli incontri con Crelle e il grande geometra Steiner, Abel si trasferì a Friburgo dove era più tranquillo recandosi poco dopo in Francia, dove l’accoglienza fu piuttosto fredda e la conoscenza dei più grandi matematici dell’epoca poco stimolante. Abel ne fu deluso, l'opera di Cauchy infatti l'aveva ispirato tanto da dire che Cauchy " è al momento quello che sa come deve essere trattata la matematica". In quel periodo stava studiando il dominio di convergenza della serie binomiale. In una lettera a Holmboë del 1826 Abel scrive:

“ Le serie divergenti sono l’invenzione del demonio ed è una vergogna basare su di esse una qualsiasi dimostrazione. Servendosene si può trarre a piacimento qualsiasi conclusione ed è questo il motivo per cui queste serie hanno prodotto tante fallacie e tanti paradossi.. Sono diventato prodigiosamente attento a tutto ciò perché, ad eccezione della serie geometrica, non esiste in tutta la matematica una sola serie infinita la cui somma sia stata determinata rigorosamente. In altre parole, le cose in matematica che sono più importanti sono anche quelle che hanno il minor fondamento.”

Dopo la sosta a Parigi, Abel partì verso il Sud della Francia lasciando a Cauchy il compito di presentare la sua opera principale, "Una proprietà generale di una classe estesissima di funzioni trascendenti", all’Accademia delle Scienze di Parigi. Cauchy non esaminò l’opera e la diede al matematico Hachette che la presentò all’Accademia nel 1826. Quest’ultima incaricò Cauchy e Legendre di esaminarla e di stendere il rapporto; Cauchy la portò a casa, la perse e se ne dimenticò del tutto. L’opera fu ritrovata e pubblicata postuma nel 1841. In questa è presente il ‘teorema di Abel’, la cui dimostrazione è un meraviglioso esercizio di calcolo integrale. Durante la sua permanenza a Parigi, Abel aveva consultato dei medici per ciò che egli reputava essere un raffreddore persistente; i medici diagnosticarono una tubercolosi polmonare, ma egli non volle credere a questa analisi e raggiunse Berlino, dove restò per due mesi. Ritornò a Cristiania sperando di ottenere un posto all’università ma senza successo. Nel gennaio del 1829 Abel capì, di fronte ad un’emorragia, che non aveva molto da vivere. Morì il 6 Aprile 1829 curato dalla fidanzata Crelly Kemp. Due giorni dopo, una lettera di Crelle gli annunciava la nomina come professore di matematica all’Università di Berlino.

Studi

" Se tralasciate i casi veramente semplici, in tutta la matematica non c'è una singola serie infinita la cui somma sia stata rigorosamente determinata. In altre parole, le più importanti aree della matematica restano in piedi senza un fondamento."

Abel lesse le ricerche di Lagrange e Gauss sulla teoria delle equazioni e, mentre era ancora studente alle scuole superiori, affrontò il problema della risolubilità delle equazioni di grado superiore seguendo la trattazione di Gauss dell’equazione binomiale. Egli riuscì a dimostrare il seguente teorema: alle radici di un’ equazione risolubile per radicali si può dare una forma tale che ciascuno dei radicali che compaiono nelle espressioni delle radici sia esprimibile come funzione razionale delle radici dell’equazione e di certe radici dell’unità. Abel si servì poi di questo teorema per dimostrare l’impossibilità di risolvere per radicali l’equazione generale di grado superiore al quarto. Nonostante la complicazione della dimostrazione e la presenza di un errore non essenziale, il problema della soluzione delle equazioni generali di grado superiore al quarto fu risolto definitivamente. Abel affrontò pure il problema della divisione della lemniscata e giunse ad una classe di equazioni algebriche, dette equazioni abeliane, che sono risolubili per radicali. L’equazione ciclotomica è un esempio di equazione abeliana. In generale un’equazione si dice abeliana se tutte le sue radici sono funzioni razionali di una di esse, cioè se sono funzioni razionali. Riportiamo una citazione dallo studio: 'Sulla risoluzione algebrica delle equazioni':

"Uno dei più interessanti problemi dell'algebra è quello della soluzione algebrica delle equazioni. Infatti, vediamo che quasi tutte le geometrie di qualche valore hanno trattato questo soggetto. Si arriva così senza difficoltà all'espressione generale delle radici delle equazioni dei primi quattro gradi per mezzo di un metodo uniforme che si credeva di poter applicare ad equazioni di qualunque grado, ma nonostante tutti gli sforzi di un Lagrange e di altri eminenti geometri, lo scopo non è stato raggiunto. Si è presunto da ciò che la risoluzione delle equazioni generali fosse algebricamente impossibile, ma la cosa non poteva essere stabilita con certezza, dato che il metodo adottato poteva condurre a precise conclusioni solo nel caso in cui le equazioni fossero solubili. Dunque ci si proponeva di risolvere le quazioni senza sapere se la cosa era possibile [..]. Per arrivare ad un risultato specifico, bisogna prendere un'altra strada, cioè dare al problema una forma tale in modo che sia sempre possibile risolverlo, cosa che si può sempre fare con qualsiasi problema. Invece di affaticarci intorno ad una soluzione che non sappiamo se esista o no, domandiamoci piuttosto se tale soluzione è possibile... Presentando il problema sotto questa forma, l'enunciato stesso contiene il germe della soluzione e indica la strada che deve essere presa per giungervi, e io credo che vi siano pochi casi in cui non si possa arrivare a risultati più o meno importanti, anche se non si può rispondere completamente al quesito a causa della complessità dei calcoli."

Nel corso di queste ricerche Abel introdusse due nozioni, quella di corpo e quella di polinomio irriducibile in un dato corpo. Per corpo di numeri Abel intendeva una collezione di numeri tali che la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di due numeri qualsiasi della collezione (esclusa la divisione per 0) appartengano pure alla collezione. I numeri razionali, i numeri reali e i numeri complessi formano un corpo. Un polinomio è detto riducibile in un corpo se può essere espresso come prodotto di due polinomi di grado inferiore a coefficienti nel corpo. Se un polinomio non può essere espresso in tale forma allora è detto irriducibile.

Abel si occupò di analisi nel tentativo di fornire ad essa una trattazione rigorosa; in una lettera ad un matematico norvegese si lamentava della

“ tremenda oscurità che senza alcun dubbio si trova nell’analisi. Essa manca a tal punto di ogni piano sistematico che è sorprendente che tanti uomini siano stati in grado di studiarla. E, quello che è peggio, essa non è mai stata trattata rigorosamente. Ci sono pochi teoremi dell’analisi avanzata che siano stati dimostrati in maniera logicamente sostenibile…”

Premio Abel

Recentemente il nome di Abel ha ricevuto un importante riconoscimento. L’istituzione del “Premio Abel”, istituito per colmare la lacuna del Nobel che continua ad ignorare la matematica.

Secondo una leggenda, diffusa probabilmente da qualche matematico maligno, Alfred Bernhard Nobel avrebbe escluso la matematica dal suo premio dopo aver scoperto una tresca tra sua moglie e un matematico svedese. Nobel in realtà non si sposò mai, ma nemmeno chiarì mai i motivi di questa esclusione. La Svezia nel 1968 ha aggiunto ai Nobel un premio per l’economia, ma non ha mai voluto porre rimedio a questa clamorosa ingiustizia dell’esclusione della matematica. Nella storia, alcuni matematici non hanno avuto vita facile in Svezia. Ricordiamo soltanto René Descartes, vittima dei capricci della regina Cristina, che lo obbligava a ritmi di lavoro per lui insostenibili, tanto da portarlo in breve tempo alla tomba, o pensiamo a Sonia Kowalewski, la celebre matematica russa, morta a Stoccolma, per le complicazioni di una banale influenza, a quarantun anni: “Questo sole eterno, queste lunghe notti chiare troppo in anticipo sul calore dell'estate – scriveva a un’amica - sono snervanti; sono notti che promettono una felicità che non sanno dare”.

La Norvegia ha stanziato per il Premio Abel un fondo di 22 milioni di dollari e il premio, piuttosto consistente, è di 770 mila Euro. Il “Premio Abel” era già stato proposto nel 1902 da Oscar II, allora re di Svezia e di Norvegia, ma rotta l'unione fra i due paesi, il progetto era stato abbandonato. Il primo vincitore del premio Abel 2003 è stato il matematico francese Jean-Pierre Serre, del Collège de France di Parigi. La motivazione ufficiale del premio è: "Per aver svolto un ruolo fondamentale nel dare una forma moderna a numerose branche della matematica, fra cui la topologia, la geometria algebrica e la teoria dei numeri". Nel 2004 i vincitori sono stati, Sir Michael Francis Atiyah, dell’Università di Edinburgo e Isadore M. Singer del Massachusetts Institute of Technology, con la seguente motivazione: “Per la loro scoperta e dimostrazione del teorema dell’indice che collega fra loro topologia, geometria e analisi, e per il loro ruolo di primo piano nella costruzione di nuovi ponti fra matematica e fisica teorica”. Il teorema dell’indice di Atiyah - Singer, scoperto quarant’anni fa con un loro lavoro comune, è uno dei punti di riferimento della matematica del ventesimo secolo e ha permesso grandi progressi in topologia, geometria differenziale e nella teoria quantistica dei campi. Ultimo vincitore, nel 2005, è stato Peter D. Lax, della New York University: “Per i suoi straordinari contributi alla teoria e all’applicazione delle equazioni differenziali parziali e al calcolo delle loro soluzioni”.

L’Unione dei Matematici aveva già inventato, nel 1924, un premio sostitutivo dei Nobel, le medaglie Fields, che ogni quattro anni vengono assegnate a quattro fra i matematici migliori. Un premio, che finora era il più ambito riconoscimento matematico. Ma le medaglie Fields sono premi fra matematici e i nomi dei vincitori sono praticamente sconosciuti al grande pubblico. Pochi conoscono, ad esempio, al di fuori della cerchia dei matematici, il nome di Enrico Bombieri, l’unico italiano che abbia vinto la medaglia Fields, nel 1974. Ora si spera che il premio Abel possa avere una risonanza più ampia, contribuendo a rendere più popolare la scienza dei numeri.

Note

^ Grattan-Giunness, p. 80.
^ Markuševič, p. 48.

Voci correlate

Cratere Abel

Bibliografia

Wikiquote contiene citazioni di o su Lucatancredi/Abel
Ore, Oynstein: Niels Henrik Abel, Mathematician Extraordinary Chelsea, New York 1957.
Pepe, Luigi: 200 anni dalla nascita di Abel: genio e regolatezza, Lettera matematica PRISTEM n. 46, 2002.
Abel, Niels Henrik (1988): Oeuvres Complètes, a cura di L. Sylow, S. Lie, Johnson Reprint Corp., NewYork 1988.
Pesic, Peter: Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability, MIT Press, Cambridge (MA), 2003 [trad. it. di Laura Servidei: La prova di Abel, Bollati Boringhieri, Torino 2005].
Bell, Eric T.: I grandi matematici, Sansoni Saggi, Firenze 2000.
Kline, Morris: La matematica nella cultura occidentale, Feltrinelli, Milano 1976.

Collegamenti esterni

[1] Grattan-Giunness, p. 80.

[2] Markuševič, p. 48.

[1]

[2]