Polinomio irriducibile

In matematica, un polinomio si dice irriducibile quando non esistono dei polinomi e tali che con e non invertibili. In caso contrario, il polinomio si dice riducibile.

Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio

è riducibile.

Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in , mentre è riducibile se considerato su , perché la fattorizzazione non è banale, in quanto l'inverso di , ovvero , non è un numero intero, e quindi non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.

EsempiModifica

L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio

 

è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in

 

Analogamente, il polinomio

 

è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come

 

Polinomi irriducibili nei vari campiModifica

Numeri complessiModifica

Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado  .

Numeri realiModifica

I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:

  • i polinomi di primo grado;
  • i polinomi di secondo grado con delta minore di zero.

Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso   è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato   è soluzione, e il prodotto dei fattori

 

è formato da numeri reali.

Numeri razionaliModifica

Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su   ma invertibili in  ). Dopo si possono provare varie strade:

  • Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere  , mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.

Se un polinomio non ammette radici razionali, non vuol dire sempre che è irriducibile su  : ciò vale se e solo se il grado del polinomio è minore o uguale a tre.

  • Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
  • Considerare il polinomio in  , con   primo tale che  

In particolare vale che se il polinomio è irriducibile in   allora lo è anche in  . Ma non vale il viceversa.

Irriducibilità assolutaModifica

un polinomio multivariato definito sui numeri razionali si definisce assolutamente irriducibile se è irriducibile sul campo complesso.[1][2][3] Per esempio   è assolutamente irriducibile; invece   pur essendo irriducibile sugli interi e sui reali, è riducibile sui numeri complessi come   e quindi non è assolutamente irriducibile.

Più in generale, un polinomio definito su un campo   è assolutamente irriducibile se è irriducibile su ogni estensione algebrica di  [4] e un insieme algebrico affine definito da equazioni con coefficienti in un campo   è assolutamente irriducibile se non è l'unione di due insiemi algebrici definiti da equazioni in un'estensione algebricamente chiusa di   In altre parole, un insieme algebrico assolutamente irriducibile è sinonimo di una varietà algebrica, [5] che sottolinea che i coefficienti delle equazioni che lo definiscono possono non appartenere a un campo algebricamente chiuso.

Il concetto di irriducibilità assoluta viene applicato, con lo stesso significato, anche alle rappresentazioni lineari di gruppi algebrici.

In tutti i casi, essere assolutamente irriducibili equivale ad essere irriducibili sulla chiusura algebrica del campo base.

Esempi di irriducibilità assolutaModifica

  • Un polinomio univariato di grado maggiore o uguale a 2 non è mai assolutamente irriducibile, a causa del teorema fondamentale dell'algebra.
  • La rappresentazione bidimensionale irriducibile del gruppo simmetrico   di ordine 6, originariamente definito sul campo dei numeri razionali, è assolutamente irriducibile.
  • La rappresentazione del gruppo circolare delle rotazioni nel piano è irriducibile (sul campo dei numeri reali), ma non è assolutamente irriducibile. Dopo aver esteso il campo a numeri complessi, si divide in due componenti irriducibili. Questo è prevedibile, poiché il gruppo circolare è commutativo ed è noto che tutte le rappresentazioni irriducibili di gruppi commutativi su un campo algebricamente chiuso sono unidimensionali.
  • La "vera" varietà algebrica definita dall'equazione
 
è assolutamente irriducibile.[3] È il cerchio ordinario sui reali e rimane una sezione conica irriducibile sul campo dei numeri complessi. L'irriducibilità assoluta vale più generalmente su qualsiasi campo non di caratteristica due. In caratteristica due, l'equazione è equivalente a   Quindi definisce la retta doppia   che è uno schema non ridotto.
  • La varietà algebrica data dall'equazione
 
non è assolutamente irriducibile. In effetti, il membro sinistro può essere scomposto come
 
dove   è una radice quadrata di −1. Pertanto, questa varietà algebrica è costituita da due linee che si intersecano all'origine e non è assolutamente irriducibile. Ciò vale già sul campo base se   è un quadrato, oppure vale sull'estensione quadratica ottenuta mediante l'aggiunta di  

NoteModifica

  1. ^ Pure and Applied Mathematics, vol. 20, 1986, ISBN 9780080873329, https://books.google.com/books?id=njgVUjjO-EAC&pg=PA10. .
  2. ^ 2003, ISBN 9783540654667, https://books.google.com/books?id=Pnlxei_XfFQC&pg=PA26. .
  3. ^ a b 2nd, 2004, ISBN 9780203494455, https://books.google.com/books?id=9IFMCsQJyscC&pg=SA8-PA17. .
  4. ^ Monographs in Contemporary Mathematics, 1994, ISBN 9780306110368, https://books.google.com/books?id=PI66sVXDp7UC&pg=PA53. .
  5. ^ 2009, ISBN 9781400831302, https://books.google.com/books?id=utDJWUVogZ4C&pg=PA47. .
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