Polinomio irriducibile
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In matematica, un polinomio si dice irriducibile quando non esistono dei polinomi e tali che con e non invertibili. In caso contrario, il polinomio si dice riducibile.
Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio
è riducibile.
Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in , mentre è riducibile se considerato su , perché la fattorizzazione non è banale, in quanto l'inverso di , ovvero , non è un numero intero, e quindi non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.
EsempiModifica
L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio
è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in
Analogamente, il polinomio
è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come
Polinomi irriducibili nei vari campiModifica
Numeri complessiModifica
Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado .
Numeri realiModifica
I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:
- I polinomi di primo grado;
- I polinomi di secondo grado con delta minore di zero.
Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato è soluzione, e il prodotto dei fattori
è formato da numeri reali.
Numeri razionaliModifica
Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su ma invertibili in ). Dopo si possono provare varie strade:
- Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere , mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.
Ma attenzione, se un polinomio non ammette radici razionali, non vuol dire sempre che è irriducibile su . Ciò vale se e solo se il grado del polinomio è minore o uguale a tre.
- Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
- Considerare il polinomio in , con primo tale che ;
In particolare vale che se il polinomio è irriducibile in allora lo è anche in . Ma non vale il viceversa.