Polinomio irriducibile

In matematica, un polinomio $p(x)$ si dice irriducibile quando non esistono dei polinomi $q(x)$ e $s(x)$ tali che $q(x)\cdot s(x)=p(x)$ con $q(x)$ e $s(x)$ non invertibili. In caso contrario, il polinomio si dice riducibile.

Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio

$p(x)=x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),$

è riducibile.

Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio $2x+6$ è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in $\mathbb {Q} [X]$, mentre è riducibile se considerato su $\mathbb {Z} [X]$, perché la fattorizzazione $2x+6=2(x+3)$ non è banale, in quanto l'inverso di $2$, ovvero $1/2$, non è un numero intero, e quindi $2$ non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.

Esempi

L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio

$p(x)=x^{2}-2,$

è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in

$p(x)=x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}}).$

Analogamente, il polinomio

$q(x)=x^{2}+1,$

è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come

$q(x)=(x+i)(x-i).$

Polinomi irriducibili nei vari campi

Numeri complessi

Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado $1$.

Numeri reali

I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:

• i polinomi di primo grado;
• i polinomi di secondo grado con delta minore di zero.

Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso $z$ è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato ${\overline {z}}$ è soluzione, e il prodotto dei fattori

$(x-z)(x-{\overline {z}})=x^{2}-(z+{\overline {z}})x+z{\overline {z}},$

è formato da numeri reali.

Numeri razionali

Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su $\mathbb {Z} [x]$ ma invertibili in $\mathbb {Q} [x]$). Dopo si possono provare varie strade:

• Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere $a_{0}$, mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.

Se un polinomio non ammette radici razionali, non vuol dire sempre che è irriducibile su $\mathbb {Q} [x]$: ciò vale se e solo se il grado del polinomio è minore o uguale a tre.

• Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
• Considerare il polinomio in $\mathbb {Z} _{p}[x]$, con $p$ primo tale che $p\nmid a_{n}.$

In particolare vale che se il polinomio è irriducibile in $\mathbb {Z} _{p}[x]$ allora lo è anche in $\mathbb {Q} [x]$. Ma non vale il viceversa.

Irriducibilità assoluta

un polinomio multivariato definito sui numeri razionali si definisce assolutamente irriducibile se è irriducibile sul campo complesso. Per esempio $x^{2}+y^{2}-1$ è assolutamente irriducibile; invece $x^{2}+y^{2},$ pur essendo irriducibile sugli interi e sui reali, è riducibile sui numeri complessi come $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ e quindi non è assolutamente irriducibile.

Più in generale, un polinomio definito su un campo $K$ è assolutamente irriducibile se è irriducibile su ogni estensione algebrica di $K,$ e un insieme algebrico affine definito da equazioni con coefficienti in un campo $K$ è assolutamente irriducibile se non è l'unione di due insiemi algebrici definiti da equazioni in un'estensione algebricamente chiusa di $K.$ In altre parole, un insieme algebrico assolutamente irriducibile è sinonimo di una varietà algebrica, che sottolinea che i coefficienti delle equazioni che lo definiscono possono non appartenere a un campo algebricamente chiuso.

Il concetto di irriducibilità assoluta viene applicato, con lo stesso significato, anche alle rappresentazioni lineari di gruppi algebrici.

In tutti i casi, essere assolutamente irriducibili equivale ad essere irriducibili sulla chiusura algebrica del campo base.

Esempi di irriducibilità assoluta

• Un polinomio univariato di grado maggiore o uguale a 2 non è mai assolutamente irriducibile, a causa del teorema fondamentale dell'algebra.
• La rappresentazione bidimensionale irriducibile del gruppo simmetrico $S_{3}$ di ordine 6, originariamente definito sul campo dei numeri razionali, è assolutamente irriducibile.
• La rappresentazione del gruppo circolare delle rotazioni nel piano è irriducibile (sul campo dei numeri reali), ma non è assolutamente irriducibile. Dopo aver esteso il campo a numeri complessi, si divide in due componenti irriducibili. Questo è prevedibile, poiché il gruppo circolare è commutativo ed è noto che tutte le rappresentazioni irriducibili di gruppi commutativi su un campo algebricamente chiuso sono unidimensionali.
• La "vera" varietà algebrica definita dall'equazione

$x^{2}+y^{2}=1$

è assolutamente irriducibile. È il cerchio ordinario sui reali e rimane una sezione conica irriducibile sul campo dei numeri complessi. L'irriducibilità assoluta vale più generalmente su qualsiasi campo non di caratteristica due. In caratteristica due, l'equazione è equivalente a $(x+y-1)^{2}=0.$ Quindi definisce la retta doppia $x+y=1,$ che è uno schema non ridotto.

• La varietà algebrica data dall'equazione

$x^{2}+y^{2}=0$

non è assolutamente irriducibile. In effetti, il membro sinistro può essere scomposto come

$x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),$

dove $i$ è una radice quadrata di −1. Pertanto, questa varietà algebrica è costituita da due linee che si intersecano all'origine e non è assolutamente irriducibile. Ciò vale già sul campo base se $-1$ è un quadrato, oppure vale sull'estensione quadratica ottenuta mediante l'aggiunta di $i.$