Polinomio irriducibile

In matematica, un polinomio $p(x)$ si dice irriducibile quando non esistono dei polinomi $q(x)$ e $s(x)$ tali che $q(x)\cdot s(x)=p(x)$ con $q(x)$ e $s(x)$ non invertibili. In caso contrario, il polinomio si dice riducibile.

Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio

p(x)=x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1),

è riducibile.

Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio $2x+6$ è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in $\mathbb {Q} [X]$ , mentre è riducibile se considerato su $\mathbb {Z} [X]$ , perché la fattorizzazione $2x+6=2(x+3)$ non è banale, in quanto l'inverso di $2$ , ovvero $1/2$ , non è un numero intero, e quindi $2$ non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi.

Esempi modifica

L'irriducibilità dipende fortemente dalla scelta dell'anello a cui devono appartenere i coefficienti. Ad esempio, il polinomio

p(x)=x^{2}-2,

è irriducibile se tale anello è quello degli interi, mentre è riducibile se l'anello è il campo dei numeri reali, perché qui si spezza in

p(x)=x^{2}-2=(x+{\sqrt {2}})(x-{\sqrt {2}}).

Analogamente, il polinomio

q(x)=x^{2}+1,

è irriducibile sui numeri reali, mentre è riducibile sui numeri complessi, perché si scompone come

q(x)=(x+i)(x-i).

Polinomi irriducibili nei vari campi modifica

Numeri complessi modifica

Per il teorema fondamentale dell'algebra, un polinomio è irriducibile sul campo dei complessi se e solo se ha grado $1$ .

Numeri reali modifica

I polinomi irriducibili sul campo dei reali sono precisamente:

i polinomi di primo grado;
i polinomi di secondo grado con delta minore di zero.

Quindi ogni polinomio a coefficienti reali è il prodotto di alcuni polinomi di questi due tipi. Questo deriva dal fatto che se un numero complesso $z$ è uno zero di un polinomio, allora anche il suo complesso coniugato ${\overline {z}}$ è soluzione, e il prodotto dei fattori

(x-z)(x-{\overline {z}})=x^{2}-(z+{\overline {z}})x+z{\overline {z}},

è formato da numeri reali.

Numeri razionali modifica

Sul campo dei numeri razionali, esistono polinomi irriducibili di qualsiasi grado, ma non esiste nessun criterio generale per determinare se un polinomio sia irriducibile o meno. Esistono tuttavia vari metodi che possono dare o meno risultati; generalmente il primo passo è trasformare il polinomio originario in un polinomio a coefficienti interi, moltiplicandolo per il minimo comune multiplo dei denominatori. L'operazione è lecita grazie al lemma di Gauss, che garantisce che il polinomio originale è irriducibile se e solo se lo è il trasformato (a meno di fattori costanti, che sono irriducibili su $\mathbb {Z} [x]$ ma invertibili in $\mathbb {Q} [x]$ ). Dopo si possono provare varie strade:

Cercare radici razionali; per il teorema delle radici razionali il loro numeratore deve dividere $a_{0}$ , mentre il denominatore deve dividere il coefficiente direttore. L'insieme dei valori possibili è così limitato; se uno di questi è una radice, allora il polinomio è sicuramente riducibile.

Se un polinomio non ammette radici razionali, non vuol dire sempre che è irriducibile su $\mathbb {Q} [x]$ : ciò vale se e solo se il grado del polinomio è minore o uguale a tre.

Tentare di applicare il criterio di Eisenstein.
Considerare il polinomio in $\mathbb {Z} _{p}[x]$ , con $p$ primo tale che $p\nmid a_{n}.$

In particolare vale che se il polinomio è irriducibile in $\mathbb {Z} _{p}[x]$ allora lo è anche in $\mathbb {Q} [x]$ . Ma non vale il viceversa.

Irriducibilità assoluta modifica

un polinomio multivariato definito sui numeri razionali si definisce assolutamente irriducibile se è irriducibile sul campo complesso.^[1]^[2]^[3] Per esempio $x^{2}+y^{2}-1$ è assolutamente irriducibile; invece $x^{2}+y^{2},$ pur essendo irriducibile sugli interi e sui reali, è riducibile sui numeri complessi come $x^{2}+y^{2}=(x+iy)(x-iy),$ e quindi non è assolutamente irriducibile.

Più in generale, un polinomio definito su un campo $K$ è assolutamente irriducibile se è irriducibile su ogni estensione algebrica di $K,$ ^[4] e un insieme algebrico affine definito da equazioni con coefficienti in un campo $K$ è assolutamente irriducibile se non è l'unione di due insiemi algebrici definiti da equazioni in un'estensione algebricamente chiusa di $K.$ In altre parole, un insieme algebrico assolutamente irriducibile è sinonimo di una varietà algebrica, ^[5] che sottolinea che i coefficienti delle equazioni che lo definiscono possono non appartenere a un campo algebricamente chiuso.

Il concetto di irriducibilità assoluta viene applicato, con lo stesso significato, anche alle rappresentazioni lineari di gruppi algebrici.

In tutti i casi, essere assolutamente irriducibili equivale ad essere irriducibili sulla chiusura algebrica del campo base.

Esempi di irriducibilità assoluta modifica

Un polinomio univariato di grado maggiore o uguale a 2 non è mai assolutamente irriducibile, a causa del teorema fondamentale dell'algebra.
La rappresentazione bidimensionale irriducibile del gruppo simmetrico $S_{3}$ di ordine 6, originariamente definito sul campo dei numeri razionali, è assolutamente irriducibile.
La rappresentazione del gruppo circolare delle rotazioni nel piano è irriducibile (sul campo dei numeri reali), ma non è assolutamente irriducibile. Dopo aver esteso il campo a numeri complessi, si divide in due componenti irriducibili. Questo è prevedibile, poiché il gruppo circolare è commutativo ed è noto che tutte le rappresentazioni irriducibili di gruppi commutativi su un campo algebricamente chiuso sono unidimensionali.
La "vera" varietà algebrica definita dall'equazione

x^{2}+y^{2}=1

è assolutamente irriducibile.^[3] È il cerchio ordinario sui reali e rimane una sezione conica irriducibile sul campo dei numeri complessi. L'irriducibilità assoluta vale più generalmente su qualsiasi campo non di caratteristica due. In caratteristica due, l'equazione è equivalente a

(x+y-1)^{2}=0.

Quindi definisce la retta doppia

x+y=1,

che è uno schema non ridotto.

La varietà algebrica data dall'equazione

x^{2}+y^{2}=0

non è assolutamente irriducibile. In effetti, il membro sinistro può essere scomposto come

x^{2}+y^{2}=(x+yi)(x-yi),

dove

i

è una radice quadrata di −1. Pertanto, questa varietà algebrica è costituita da due linee che si intersecano all'origine e non è assolutamente irriducibile. Ciò vale già sul campo base se