Utente:Ninetales/Sandbox

Matematica

Vorrei inserire questi sottoparagrafi all'interno dell'articolo Rotazione (matematica). Sono graditi suggerimenti. Le immagini le cercherò con calma...

Leggi di variazione dei versori di una base al ruotare del riferimento nel piano

Sia xOy un sistema di riferimento cartesiano e x'Oy' il suo ruotato di $\theta$ in senso antiorario:

Siano ${\vec {e}}_{1}$ , ${\vec {e}}_{2}$ i versori relarivi ad xOy ed ${\vec {u}}_{1}$, ${\vec {u}}_{2}$ quelli relativi a x'Oy'

E' facile notare che

               1)    ${\vec {u}}_{1}$= ${\vec {e}}_{1}$ cos$\theta$ + ${\vec {e}}_{2}$ sin$\theta$         
                     ${\vec {u}}_{2}$= - ${\vec {e}}_{1}$ sin$\theta$ + ${\vec {e}}_{2}$ cos$\theta$

Leggi di trasformazione delle componenti di un vettore al ruotare del riferimento cartesiano nel piano

Si dimostra che sia v un vettore del piano di coordinate ($h_{1},h_{2}$) e siano $k_{1},k_{2}$ le coordinate di v in un riferimento x'Oy' ruotato di theta rispetto al primo, allora valgono le seguenti leggi: $k_{1}=(h_{1}cos\theta +h_{2}sin\theta )\,\!$

$k_{2}=(-h_{1}sin\theta +h_{2}cos\theta )\,\!$

Dimostrazione

Considerando un vettore del piano ${\vec {v}}$ di componenti ( $h_{1},h_{2}$ ) rispetto a xOy, si avrà che:

               2)    ${\vec {v}}$= $h_{1}{\vec {e}}_{1}$ + $h_{2}{\vec {e}}_{2}$

Lo stesso vettore rispetto al sistema ruotato x'Oy' assume invece quest'altra forma:

               3)    ${\vec {v}}$= $k_{1}{\vec {u}}_{1}$ + $k_{2}{\vec {u}}_{2}$

Sostituendo nell'ultima relazione le (1) si ricava:

    ${\vec {v}}$= $k_{1}({\vec {e}}_{1}cos\theta +{\vec {e}}_{2}sin\theta )$ + $k_{2}(-{\vec {e}}_{1}sin\theta +{\vec {e}}_{2}cos\theta )$

ovvero

                4)   ${\vec {v}}$= ${\vec {e}}_{1}(k_{1}cos\theta -k_{2}sin\theta )+{\vec {e}}_{2}(k_{1}sin\theta +k_{2}cos\theta )$

Confrontando quest'ultima con la (2) otteniamo:

                5)   $h_{1}=(k_{1}cos\theta -k_{2}sin\theta )\,\!$
                     $h_{2}=(k_{1}sin\theta +k_{2}cos\theta )\,\!$ 

ovvero

                5*  $k_{1}=(h_{1}cos\theta +h_{2}sin\theta )\,\!$
                    $k_{2}=(-h_{1}sin\theta +h_{2}cos\theta )\,\!$ 

Se indichiamo con $R={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$ , e con [v] la matrice colonna associata a ${\vec {v}}$ nel riferimento xOy e con la matrice colonna associata a ${\vec {v}}$ nel riferimento ruotato, possiamo scrivere le (5*) così:

                6)   $[w]=R[v]\,\!$

La (5*) e la (6) rappresentano la legge di trasformazione di un vettore al ruotare del riferimento.

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SdC

Pressoflessione deviata

Prova di unione delle voci Pressoflessione deviata e Formula di Navier Attenzione!!! Attingo dalle due voci per poi implementare con dell'altro

La pressoflessione deviata è una sollecitazione che nasce da un sistema di forze composto da una forza N di compressione agente al di fuori del baricentro in modo tale da creare due flessioni rette con asse momento coincidente con i due assi centrali d'inerzia della sezione; la composizione di tali coppie fornisce una flessione deviata.

Calcolo delle tensioni normali in un riferimento centrale d'inerzia

Purchè siano soddisfatte le ipotesi di de Saint Venant, l'ipotesi ulteriore di conservazione delle sezioni piane, e se e solo se il riferimento è centrale d'inerzia, per calcolare l'andamento delle tensioni normali è possibile usare la formula trinomia di Navier

$\sigma _{z}={\frac {N}{A}}+{\frac {M_{x}}{I_{x}}}y-{\frac {M_{y}}{I_{y}}}x$

dove N è la forza normale al piano della sezione considerata, A è l'area della sezione, $M_{x}$ e $M_{y}$ sono i momenti meccanici generati da N sulla sezione e $I_{x}$ e $I_{y}$ sono i momenti principali d'inerzia della sezione (considerando questa appartenente ad un piano xy e, quindi, N e δ$_{zz}$ dirette lungo un asse z perpendicolare al piano xy).

Per esplicitare l'andamento delle tensioni nel grafico bisognerà conoscere:

• l'asse di sollecitazione, che in una sezione passa per il punto d'applicazione della forza e per il baricentro di tale sezione;
• l'asse neutro, che si può trovare in due modi:
  1. conoscendo l'ellissoide centrale d'inerzia della sezione e sfruttando le sue proprietà (visto che l'asse di sollecitazione e quello neutro sono coniugati d'inerzia);
  2. uguagliando a zero la formula trinomia dalla quale si ricava l'equazione caratteristica dell'asse neutro.

Riferimento baricentrico qualsiasi

La formula di Navier è valida solo se si prende in considerazione un riferimento baricentrico principale d'inerzia. Se non si dispone delle direzioni principali d'inerzia si dovrà ricorrere ad una formula più generale la cui espressione è

$\sigma _{z}={\frac {N}{A}}+J_{G}^{-1}({\vec {k}}\times {\vec {M}})\cdot {\vec {r}}$

Dimostrazione

La soluzione esatta del problema di de Saint Venant per la pressoflessione prevede uno stato tesionale monoassiale (lungo z). È ragionevole supporre che $\sigma _{z}$ dipenda linearmente da x e da y, ma non da z (N viene trasmesso per tutta la lunghezza della trave in modo costante). Dunque, lo stato tensionale si ripete uguale sezione per sezione ed è caratterizzato dall'avere come unica componente $\sigma _{z}$. Perciò possiamo concludere che $\sigma _{z}\,\!$ è uguale a una $\sigma _{o}\,\!$ indipendente da x e y più una combinazione lineare di un vettore gradiente ${\vec {g}}$ per il raggio vettore ${\vec {r}}$, cioè

(1) $\sigma _{z}=\sigma _{o}+({\vec {g}}\cdot {\vec {r}})$

Nota la relazione $N=\int _{A}\sigma _{z}dA\,\!$ , e sviluppando tramite la (1), otteniamo $\sigma _{o}={\frac {N}{A}}\,\!$

Indichiamo con ${\vec {M}}={\begin{bmatrix}M_{x}\\M_{y}\end{bmatrix}}$ il vettore momento flettente, con ${\vec {t}}$ il vettore delle tensioni, e con ${\vec {r}}={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ .

Nota la relazione ${\vec {M}}=\int _{A}{\vec {r}}\times {\vec {t}}dA=\int _{A}{\vec {r}}\times \sigma _{z}{\vec {k}}dA$ (giustificata dal fatto che $\sigma _{z}$ è l'unica componente di ${\vec {t}}$) si giunge a ricavare

${\vec {g}}=J_{G}^{-1}\cdot ({\vec {k}}\times {\vec {M}})$

dove $J_{G}\,\!$ è il tensore d'inerzia della sezione piana.

Confrontando il tutto con la (1) si ottiene

(2) $\sigma _{z}={\frac {N}{A}}+J_{G}^{-1}({\vec {k}}\times {\vec {M}})\cdot {\vec {r}}$

Dalla (2) imponendo che il rifeimento sia pincipale si ottiene la formula di Navier.

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