Rotazione (matematica)

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:

il verso (orario-antiorario);
l'ampiezza dell'angolo di rotazione;
il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Due dimensioni modifica

Rotazione antioraria nel piano

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione $R(\theta )$ , la quale supposta antioraria dipende da un angolo $\theta$ , e che trasforma il vettore $(x;y)$ in

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta ,\\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango $2$ . Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo $\theta$ intorno all'origine.

La matrice $2\times 2$ che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo $\theta$ .

Dimostrazione modifica

Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia $P(x;y)$ un punto qualsiasi e siano $\rho$ e $\alpha$ le sue coordinate polari. Si ha

{\begin{aligned}x&=\rho \cos \alpha \\y&=\rho \sin \alpha \end{aligned}}

il punto $P'(x';y')$ , immagine di $P$ in una rotazione antioraria di un angolo $\theta$ , ha coordinate polari $(\rho ;\alpha +\theta )$ . Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga $\alpha +\theta$ al posto di $\alpha$ :

{\begin{aligned}x'&=\rho \cos \left(\alpha +\theta \right)\\y'&=\rho \sin \left(\alpha +\theta \right).\end{aligned}}

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:

{\begin{aligned}x'&=\rho \cos \left(\alpha +\theta \right)&=\rho \left(\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta \right)&=x\cos \theta -y\sin \theta ,\\y'&=\rho \sin \left(\alpha +\theta \right)&=\rho \left(\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta \right)&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Nel piano complesso modifica

Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario.

In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo $\theta$ , con centro nell'origine, si scrive come

{\begin{matrix}\rho \colon &\mathbb {C} &\to &\mathbb {C} ,&\\&z&\mapsto &z'&=e^{i\theta }z.\end{matrix}}

L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale $\mathrm {SO} (2)$ sono isomorfi.

Tre dimensioni modifica

Rotazione in un sistema tridimensionale

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta $r$ passante per l'origine, e da un angolo $\theta$ di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo $\theta$ effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale $v_{1},v_{2},v_{3}$ , dove $v_{1}$ è il vettore di lunghezza uno contenuto in $r$ e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse $x$ trasforma il vettore di coordinate $(x,y,z)$ in:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\0&\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.

Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi $x,y,z$ ^[1]. Quindi dati tre angoli $\alpha ,\beta ,\gamma$ , che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

Senza cambiare base, la rotazione di un angolo $\theta$ intorno ad un asse determinato dal versore $(x,y,z)$ (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:

{\begin{bmatrix}x^{2}+(1-x^{2})\cos \theta &xy(1-\cos \theta )-z\sin \theta &xz(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &y^{2}+(1-y^{2})\cos \theta &yz(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &z^{2}+(1-z^{2})\cos \theta \end{bmatrix}}.

Ponendo $(x,y,z)=(1,0,0)$ oppure $(x,y,z)=(0,1,0)$ oppure $(x,y,z)=(0,0,1)$ si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse $x,$ all'asse $y$ e all'asse $z.$

Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodrigues.

In molte applicazioni risulta conveniente usare l'algebra dei quaternioni per effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale.

Dimensione arbitraria modifica

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici $n\times n$ che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.