Rotazione (matematica)

Una sfera che ruota intorno a un asse

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e l'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:

  1. il verso (orario-antiorario);
  2. l'ampiezza dell'angolo di rotazione;
  3. il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Indice

Due dimensioniModifica

 
Rotazione antioraria nel piano
 Lo stesso argomento in dettaglio: isometria del piano.

In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione  , la quale supposta antioraria dipende da un angolo  , e che trasforma il vettore   in

 

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:

 

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango  . Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo   intorno all'origine.

La matrice   che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo  .

DimostrazioneModifica

Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia   un punto qualsiasi e siano   e   le sue coordinate polari. Si ha

 

il punto  , immagine di   in una rotazione antioraria di un angolo  , ha coordinate polari  . Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga   al posto di  :

 

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:

 

Nel piano complessoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Rotazione nel piano complesso e Gruppo circolare.

Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario.

In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo  , con centro nell'origine, si scrive come

 

L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale   sono isomorfi.

Tre dimensioniModifica

 
Rotazione in un sistema tridimensionale

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta   passante per l'origine, e da un angolo   di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo   effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale  , dove   è il vettore di lunghezza uno contenuto in   e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse   trasforma il vettore di coordinate   in:

 

Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi  [1]. Quindi dati tre angoli  , che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:

 

Senza cambiare base, la rotazione di un angolo   intorno ad un asse determinato dal versore   (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:

 

Ponendo   oppure   oppure   si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse   all'asse   e all'asse  

Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodriguez.

Dimensione arbitrariaModifica

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici   che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Weisstein, Eric W., Rotation Matrix, su mathworld.wolfram.com. URL consultato il 17 marzo 2018.

Voci correlateModifica

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