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In matematica, la trasformata inversa di Laplace, o antitrasformata di Laplace, è l'inversa della trasformata di Laplace F(s): è la funzione f(t) definita da

${\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=F(s),$

dove ${\mathcal {L}}$ è la trasformata di Laplace.

Si prova che se una funzione $F(s)$ ha la trasformata inversa $f(t)$, ovvero $f$ è una funzione continua a tratti che soddisfa la condizione

${\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)$

allora $f(t)$ è univocamente determinata.

La trasformata di Laplace e la sua inversa hanno importanti applicazioni nello studio dei sistemi dinamici lineari.

Forma integrale

Una formulazione integrale dell'antitrasformata di Laplace, chiamata anche "integrale di Bromwich" o "formula inversa di Mellin", è data dall'integrale di linea:

${\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds,$

dove l'integrazione avviene lungo la linea verticale $Re(s)=\gamma$ nel piano complesso, sicché $\gamma$ è tanto grande quanto la parte reale di tutte le singolarità di F(s). Questo assicura che la linea di contorno è la regione di convergenza. Se tutte le singolarità sono della parte sinistra del piano complesso allora $\gamma$ può essere considerata nulla e la formula diventa uguale alla trasformata di Fourier inversa.

Antitrasformazione di funzioni razionali fratte

Sebbene la formula di Mellin sia molto importante da un punto di vista teorico in quanto assicura che ci sia la biunivocità tra una funzione e la sua trasformata, essa risulta poco pratica da usare in molte circostanze.

Nel caso delle funzioni razionali fratte, che peraltro rivestono un ruolo importante nello studio dei sistemi dinamici, è possibile determinare l'antitrasformata in maniera algoritmica, ricorrendo alla scomposizione in fratti semplici. L'obbiettivo di questo metodo è quello di ricondurre una funzione razionale fratta più o meno complessa, della quale non si conosce l'antitrasformata, nella somma di più funzioni razionali semplici, delle quali si conoscono le antitrasformate, e sfruttare quindi la proprietà di linearità.

Per illustrare il metodo si consideri una funzione razionale fratta nella forma:

$F(s)={\frac {P(s)}{Q(s)}}={\frac {b_{m}s^{m}+b_{m-1}s^{m-1}+...+b_{1}s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+...+a_{1}s+a_{0}}}$

Si assuma anzitutto che sia $n\geq m$ (funzione strettamente propria). In caso contrario è possibile sfruttare l'algoritmo di euclide per ricondursi al caso in esame. In tal caso si otterrebbe una funzione del tipo:

$F(s)=P(s)+{\frac {R(s)}{Q(s)}}$

dove P(s) è un polinomio di grado m-n ed è quindi facilmente antitrasformabile come somma di impulsi di ordine via via crescente.

Voci correlate

• Trasformata di Laplace

Bibliografia

• (EN) B. J. Davies, Integral transforms and their applications, Berlin, New York, Springer-Verlag, 2002, ISBN 978-0-387-95314-4.
• (EN) A. V. Manzhirov, Handbook of integral equations, Londra, CRC Press, 1998, ISBN 978-0-8493-2876-3.

Collegamenti esterni

• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Rational inversion of the Laplace Transform