Utente:Grasso Luigi/sandbox4/Gruppo quoziente

In matematica, un gruppo quoziente è una particolare struttura algebrica che è possibile costruire a partire da un dato gruppo e un suo sottogruppo normale.

Definizione

Premessa

Sia $(G;\ \cdot )$ una struttura algebrica di gruppo, e $H$ un suo sottogruppo normale. Si può introdurre la relazione di equivalenza su $G$ definita, per ogni $g,g'$ appartenenti a $G$, da

$g\sim _{H\cdot }g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{\prime }g^{-1}\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=hg,\quad h\in H$.

Si indica con $[g]$ la classe d'equivalenza

${\begin{aligned}Hg=[g]:&=\{g^{\prime }\in G\mid g^{\prime }g^{-1}\in H\}\\&=\{g\in G\mid hg,\ h\in H\}\subseteq G\\\end{aligned}}$

per ogni $g$ appartenente a $G$ (laterale destro di $H$ in $G$). L'insieme quoziente destro si definsce allora come:

$G/\sim _{H\cdot }\ :=\{Hg\,\mid \,g\in G\}.$

In modo analogo è possibile definire un'altra classe

${\begin{aligned}gH=[g]^{*}:&=\{g^{\prime }\in G\mid g^{-1}g^{\prime }\in H\}\\&=\{g\in G\mid gh,\ h\in H\}\subseteq G\\\end{aligned}}$

(laterale sinistro), definita dalla relazione:

$g\sim _{\cdot H}g^{\prime }\quad {\overset {def}{\Longleftrightarrow }}\quad g^{-1}g^{\prime }\in H\quad \Longleftrightarrow \quad g^{\prime }=gh,\quad h\in H$.

L'insieme quoziente sinistro si definisce allora come:

$G/\sim _{\cdot H}\ :=\{gH\,\mid \,g\in G\}.$

Poiché $H$ è normale, $[g]=[g]^{*}$, cioè i laterali coincidono e quindi si ottiene

$G/\sim _{\cdot H}=G/\sim _{H\cdot }=G/H$

Gruppo quoziente

Si definisce gruppo quoziente $G/H$ l'insieme

$G/H=\{[g]\mid g\in G\}$

delle classi d'equivalenza; la classe $[g]$ è ben definita, poiché la relazione d'equivalenza realizza una partizione di $G$, per cui se due elementi non sono in relazione appartengono a classi di equivalenza differenti

$g\not \sim g^{\prime }\Rightarrow [g]\cap [g^{\prime }]=\varnothing$

e la loro unione, di tipo disgiunta, fornisce l'intero gruppo; in simboli

$\bigsqcup _{g\in G}\ [g]=\ G$

L'insieme $G/H$ può anche essere visto come l'insieme dei laterali di $H$ in $G$.

Struttura di gruppo

Gli insiemi quozienti

${\begin{aligned}G/\sim _{\cdot H}&\\G/\sim _{H\cdot }&\\\end{aligned}}$

sono ben definiti per ogni tipo di sottogruppo $H\leq G$; se però $H$ è normale (come è stato assunto), si può munire $G/H$ di una struttura di gruppo in modo naturale inducendo il prodotto da quello definito in $G$; si definisce infatti il seguente prodotto:

$*:G/H\times G/H\to G/H$

$gH*g^{\prime }H:=gg^{\prime }H=\{h\in H\mid h=(g\ h_{1})\ (g^{\prime }\ h_{2});\ h_{1},h_{2}\in H\}$

$Hg*Hg^{\prime }:=Hgg^{\prime }=\{h\in H\mid h=(h_{1}\ g)\ (h_{2}\ g^{\prime });\ h_{1},h_{2}\in H\}$

cioè lo stesso discorso per i laterali sinistri e destri. Queste relazioni si possono riassumere nell'unica (essendo $gH=\ Hg=\ [g]\quad g^{\prime }H=\ Hg^{\prime }=\ [g^{\prime }]$:

$\quad [g]*[g^{\prime }]:=[gg^{\prime }]$.

Questa definizione di composizione è ben definita in $G/H$. Di seguito la dimostrazione in 2 step:

1. Vale la relazione per i laterali destri (una relazione analoga vale per i laterali sinistri) $Hg^{\prime }=Hg\iff \exists \nu \in H:g^{\prime }=\ \nu g$

   la c.n. si ottiene per definizione di laterale destro $Hg$

   la c.s. si ottiene dalle relazioni $Hg^{\prime }=\ H(\nu g)=\ (H\nu )g=\ Hg\quad$ infatti $\quad H\nu =\ H\quad \forall \nu \in H$.

2. Se consideriamo la rappresentazione $Ha,\ Hb$ e poi un'altra $H{\bar {a}},\ H{\bar {b}}$ si hanno le relazioni

   ${\bar {a}}=a\ h$ e ${\bar {b}}=b\ k$, con $h,k\in H$

   allora dobbiamo costruirci la composizione

   $H{\bar {a}}*H{\bar {b}}=H{\bar {a}}{\bar {b}}=\{h\in H\mid h=(h_{1}\ (a\ h))\ (h_{2}\ (b\ k));\ h_{1},h_{2}\in H\}$

   utilizzando le proprietà per i sottogruppi invarianti o normali si ha

   ${\begin{aligned}(h_{1}\ (a\ h))\ (h_{2}\ (b\ k))&=(h_{1}\ a)(h\ h_{2})(b\ k)\\&=(h_{1}\ a)(h\ h_{2})(b\ k)\\&=(h_{1}\ a)(h\ h_{2})(b\ k)\\&=(h_{1}\ a)(h_{4}\ b)\quad h_{3},\ h_{4}\in H\\\end{aligned}}$

   quindi le due rappresentazioni coincidono. Con altri simboli

   se $a\sim a^{\prime }$ e $b\sim b^{\prime }$ (cioè se $a^{\prime }=ah$ e $b^{\prime }=bk$, con $h,k\in H$), allora $(ab)^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}a^{-1}a^{\prime }b^{\prime }=b^{-1}hbk$, che appartiene a $H$ perché questo è normale; di conseguenza, $ab\sim a^{\prime }b^{\prime }$, e il prodotto è ben definito;

La struttura algebrica $(G/H,*)$ soddisfa gli assiomi di gruppo, perché:

• Legge associativa
• Esistenza elemento neutro

  l'elemento unità di $G/H$ è proprio $[1]$ (dove $1$ è l'elemento unità di $G$), in quanto, per ogni $g\in G$, si ha $gH*1H=(g1)H=gH$.

• Eistenza elemento opposto

  vale la relazione $[g]^{-1}=[g^{-1}]$, perché $gH*g^{-1}H=(gg^{-1})H=1H$ (cioè $g^{-1}H$ è l'inverso di $gH$).

Pertanto, $(G/H,*)$ è un gruppo.

Proiezione canonica o naturale

Proiezione naturale nei due casi possibili: omomorfismo suriettivo e bigettivo

Essendo il sottogruppo $H\trianglelefteq G$ lo possiamo anche indicare con $H=\ N$ ed anche $gN=\ Ng=\ [g]$. Fatta questa premessa per ogni gruppo quoziente, è possibile definire in modo naturale una proiezione canonica o proiezione naturale definita dall'applicazione:

${\begin{aligned}\pi \colon G&\to G/N\\g&\mapsto [g]\end{aligned}}$

Questa applicazione è un omomorfismo tra gruppi, cioè

$\pi (gg^{\prime })=\pi (g)*\pi (g^{\prime })\quad \forall g,g^{\prime }\ \in G$

Epimorfismo canonico

L'applicazione è anche evidentemente suriettiva, dato che, per ogni $[g]$, si ha

$\operatorname {Im} \ \pi =\ \pi \ (G)=\ \{[g]\in G/N\mid [g]=\pi (g),\ g\in G\}=\ G/N$ infatti $\pi ^{-1}([g])\ni g\quad \forall$

Il nucleo dell'applicazione, inoltre, è esattamente l'insieme $H=\ N$, dato che

$g\in \operatorname {Ker} (\pi )\Leftrightarrow \pi (g)=[1]\Leftrightarrow gH=1H\Leftrightarrow g=1h,h\in H\Leftrightarrow g\in H$

Isomorfismo canonico

In particolare se consideriamo il sottogruppo normale banale, cioè $N=\ \{e\}$ allora $\pi$ è un omomorfismo oltre che suriettivo anche iniettivo e le classi di equivalenza della partizione sono del tipo $gN=\ Ng=\ [g]=\{g\}\quad \forall g\in G$. In simboli:

$\operatorname {Im} \ \pi =\ G/N\simeq \ G$

$\operatorname {Ker} \ \pi =\ \{g\in G|\pi (g)=eN=Ne\}=\{1_{G}\}=\{e\}$

Esempio: Addizione modulo 6

Consideriamo il gruppo con addizione modulo 6:

$G=\left\{0,1,2,3,4,5\right\}$. Consideriamo il sottogruppo

$N=\left\{0,3\right\}\trianglelefteq G$,

quindi è normale essendo $G$ un gruppo abeliano. L'insieme dei laterali sinistri ha dimensione tre:

$G\,/\,N=\left\{a+N:a\in G\right\}=\left\{\left\{0,3\right\},\left\{1,4\right\},\left\{2,5\right\}\right\}=\left\{0+N,1+N,2+N\right\}$.

L'operazione binaria sopra definita trasforma questo insieme in un gruppo, noto come gruppo quoziente, che in questo caso è isomorfo al gruppo ciclico di ordine 3.

Origine del nome "quoziente"

Il motivo per cui $G\,/\,N$ è chiamato gruppo quoziente deriva dalla divisione di numeri interi. Dividendo 12 per 3 si ottiene la risposta 4 perché è possibile raggruppare 12 oggetti in 4 sottoinsiemi di 3 oggetti. Il gruppo quoziente è la stessa idea, anche se alla fine ci ritroviamo come risultato un gruppo invece di un numero perché i gruppi possiedono una struttura algebrica ben definita invece di un insieme arbitrario di oggetti.

Nella sua formazione, quando si confronta $G\,/\,N$ con $N$ un normale sottogruppo di $G$, la struttura del gruppo viene utilizzata per formare un naturale raggruppamento. Questi sono i coset o laterali di $N$ in $G$. Poiché gli elementi iniziali sono un gruppo e un sottogruppo normale, il quoziente finale contiene più informazioni oltre al semplice numero di laterali (che è ciò che produce una divisione regolare tra interi), perchè ha una struttura di gruppo.

Esempi

Interi pari e dispari

Consideriamo il gruppo degli interi $(\mathbb {Z} ;+)$ e sia $2\mathbb {Z}$ il sottogruppo di tutti gli interi pari. Essendo $\mathbb {Z}$ un gruppo abeliano, allora si ha $2\mathbb {Z} \trianglelefteq \mathbb {Z}$. Abbiamo due classi laterali: l'insieme degli interi pari e quello dei dispari, quindi il gruppo quoziente $\mathbb {Z} _{2}=\ \mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ è di ordine 2 isomorfo al gruppo ciclico. Cioè all'insieme $C_{2}=\left\{0,1\right\}$ dotato di struttura algebrica $(C_{2};)$ dove la legge di composizione è l'addizione modulo 2; a volte si dice che $\mathbb {Z} \,/\,2\mathbb {Z}$ equaglia l'insieme $\left\{0,1\right\}$ con l'addizione modulo 2.

Spiegazione

Sia $\gamma (m)$il resto di $m\in \mathbb {Z}$ quando lo dividiamo per $2$. Allora, $\gamma (m)=0$ per $m$ pari e $\gamma (m)=1$ per $m$ dispari.

Per definizione di $\gamma$, il kernel di $\gamma$, è l'insieme di tutti gli interi pari:

$\ker(\gamma )$ $=\{m\in \mathbb {Z} :\gamma (m)=0\}$.

Poniamo $H=\ \ker(\gamma )$. Quindi, $H$ è in sottogruppo, infatti l'elemento neutro in $\mathbb {Z}$, cioè $e_{\mathbb {Z} }=\ 0$, sta in $H$, la somma di due interi pari è pari e quindi se $m,\ n\in H$, allora anche $m+n\in H$ (cioè l'operazione è interna, proprietà ci chiusura) e se $m$ è pari, anche l'elemento opposto $-m$ è sempre pari cioè $-m\in H$.

Adesso definiamo il seguente omomorfismo:

$\mu :\mathbb {Z} /H\to \mathbb {Z} _{2}$ as $\mu (aH)=\gamma (a)$ per $a\in \mathbb {Z}$ e $\mathbb {Z} /H$ indica il gruppo quoziente dei laterali sinistri del sottogruppo $H$ rispetto $\mathbb {Z}$; $\mathbb {Z} /H=\{H,1+H\}$.

Nota that we have defined $\mu$, $\mu (aH)$ is $1$ if $a$ is odd and $0$ if $a$ is even.

Dunque, $\mu$ è un isomorfismo da $\mathbb {Z} /H$ a $\mathbb {Z} _{2}$.

Resti di divisione intera

Possiamo generalizzare l'ultimo esempio. Consideriamo ancora una volta il gruppo di interi $\mathbb {Z}$ sotto addizione. Sia n un intero positivo. Considereremo il sottogruppo $n\mathbb {Z}$ di $\mathbb {Z}$ costituito da tutti i multipli di $n$. Ancora una volta $n\mathbb {Z}$ è normale in $\mathbb {Z}$ perché $\mathbb {Z}$ è abeliano. I laterali destri sono la famiglia d'insiemi

$\left\{n\mathbb {Z} ,1+n\mathbb {Z} ,\;\ldots ,(n-2)+n\mathbb {Z} ,(n-1)+n\mathbb {Z} \right\}$.

Un intero $k$ fa parte dell'insieme laterale $r+n\mathbb {Z}$, where $r$ is the remainder when dividing $k$ by $n$. The quotient $\mathbb {Z} \,/\,n\mathbb {Z}$ can be thought of as the group of "remainders" modulo $n$. Questo è un gruppo ciclico di ordine $n$.

Radici intere complesse di 1

N è il sottogruppo delle radice dell'unità quarte (punti rossi).
G è il gruppo ciclico della dodicesima radice dell'unità (punti blu-rossi-verdi).

The twelfth roots of unity, which are points on the complex unit circle, form a multiplicative abelian group $G$, shown on the picture on the right as colored balls with the number at each point giving its complex argument. Consider its subgroup $N$ made of the fourth roots of unity, shown as red balls. This normal subgroup splits the group into three cosets, shown in red, green and blue. One can check that the cosets form a group of three elements (the product of a red element with a blue element is blue, the inverse of a blue element is green, etc.). Thus, the quotient group $G\,/\,N$ is the group of three colors, which turns out to be the cyclic group with three elements.

I numeri reali modulo gli interi

Consider the group of real numbers $\mathbb {R}$ under addition, and the subgroup $\mathbb {Z}$ of integers. Each coset of $\mathbb {Z}$ in $\mathbb {R}$ is a set of the form $a+\mathbb {Z}$, where $a$ is a real number. Since $a_{1}+\mathbb {Z}$ and $a_{2}+\mathbb {Z}$ are identical sets when the non-integer parts of $a_{1}$ and $a_{2}$ are equal, one may impose the restriction $0\leq a<1$ without change of meaning. Adding such cosets is done by adding the corresponding real numbers, and subtracting 1 if the result is greater than or equal to 1. The quotient group $\mathbb {R} \,/\,\mathbb {Z}$ is isomorphic to the circle group, the group of complex numbers of absolute value 1 under multiplication, or correspondingly, the group of rotations in 2D about the origin, that is, the special orthogonal group ${\mbox{SO}}(2)$. An isomorphism is given by $f(a+\mathbb {Z} )=\exp(2\pi ia)$ (see Euler's identity).

Matrici di numeri reali

If $G$ is the group of invertible $3\times 3$ real matrices, and $N$ is the subgroup of $3\times 3$ real matrices with determinant 1, then $N$ is normal in $G$ (since it is the kernel of the determinant homomorphism). The cosets of $N$ are the sets of matrices with a given determinant, and hence $G\,/\,N$ is isomorphic to the multiplicative group of non-zero real numbers. The group $N$ is known as the special linear group ${\mbox{SL}}(3)$.

Aritmetica modulare degli interi

Consider the abelian group $\mathbb {Z} _{4}=\mathbb {Z} \,/\,4\mathbb {Z}$ (that is, the set $\left\{0,1,2,3\right\}$ with addition modulo 4), and its subgroup $\left\{0,2\right\}$. The quotient group $\mathbb {Z} _{4}\,/\,\left\{0,2\right\}$ is $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$. This is a group with identity element $\left\{0,2\right\}$, and group operations such as $\left\{0,2\right\}+\left\{1,3\right\}=\left\{1,3\right\}$. Both the subgroup $\left\{0,2\right\}$ and the quotient group $\left\{\left\{0,2\right\},\left\{1,3\right\}\right\}$ are isomorphic with $\mathbb {Z} _{2}$.

Moltiplicazione intera

Consider the multiplicative group $G=(\mathbb {Z} _{n^{2}})^{\times }$. The set $N$ of $n$th residues is a multiplicative subgroup isomorphic to $(\mathbb {Z} _{n})^{\times }$. Then $N$ is normal in $G$ and the factor group $G\,/\,N$ has the cosets $N,(1+n)N,(1+n)2N,\;\ldots ,(1+n)n-1N$. The Paillier cryptosystem is based on the conjecture that it is difficult to determine the coset of a random element of $G$ without knowing the factorization of $n$.

Note

Postille

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Bollati Boringhieri, 1970, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Dummit, D.S. and Foote, R.M., 3. Quotient Groups and Homomorphisms, in Abstract algebra, 3ª ed., Wiley, 2003, ISBN 9780471433347, LCCN 2003057652.

Voci correlate

• Relazione di equivalenza
• Teorema di isomorfismo