Albero delle terne pitagoriche primitive

In matematica un albero di terne pitagoriche primitive è una struttura ad albero in cui ogni nodo rappresenta una terna pitagorica primitiva; da ogni nodo si ramificano tre nodi. L'albero contiene l'insieme infinito di tutte e sole le terne pitagoriche primitive esistenti.

Terne pitagoriche primitive

Rappresentazione nel piano della terna pitagorica a, b, c e della coppia m, n

Grafico di alcune coppie m, n e dei corrispondenti punti delle terne. Aprire il file svg per una versione interattiva

Una terna di numeri interi $a,b,c\in \mathbb {N}$ è una terna pitagorica se $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ; è una terna pitagorica primitiva se $a,b,c$ non hanno fattori in comune, cioè se $MCD(a,b,c)=1$ .

Ogni terna pitagorica può essere parametrizzata tramite una coppia di numeri interi $m,n\in \mathbb {N}$ con $m>n\geq 1$ che abbiano parità diversa (cioè uno sia pari e l'altro dispari):

a=m^{2}-n^{2}

(cateto dispari)

b=2mn

(cateto pari)

c=m^{2}+n^{2}

(ipotenusa)

La relazione inversa permette di calcolare $m,n$ per ogni terna:

m={\sqrt {\frac {c+a}{2}}}

n={\sqrt {\frac {c-a}{2}}}

Considerando $a,b$ e $m,n$ come coordinate del piano complesso ( $z_{1}=a\,i+b$ e $z_{2}=m\,i+n$ ), si hanno le rispettive coordinate polari $c,\theta$ e $r,\alpha$ . Si ottiene la relazione:

z_{2}^{2}=(m+n\,i)^{2}=(m^{2}-n^{2})+(2mn)i=a+b\,i=z_{1}

da cui $c=r^{2}$ e $\theta =2\alpha$ .

La relazione tra gli angoli può anche essere ottenuta da:

\tan {\theta }={\frac {b}{a}}={\frac {2mn}{m^{2}-n^{2}}}={\frac {2(n/m)}{1-(n/m)^{2}}}={\frac {2\tan {\alpha }}{1-\tan ^{2}{\alpha }}}=\tan {2\alpha }

Alberi di terne pitagoriche primitive

Gli alberi di terne pitagoriche primitive sono ottenuti a partire da un valore iniziale, tipicamente la terna (3,4,5) o la coppia (2,1), a cui sono applicate tre diverse trasformazioni lineari. È stato dimostrato che esistono solo tre possibili alberi.^[1]

Le tre matrici associate a ogni albero possono essere riferite alla tripla $a,b,c$ oppure alla coppia $m,n$

{\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&k_{13}\\k_{21}&k_{22}&k_{23}\\k_{31}&k_{32}&k_{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a'\\b'\\c'\end{pmatrix}}\iff {\begin{pmatrix}j_{11}&j_{12}\\j_{21}&j_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}m\\n\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}m'\\n'\end{pmatrix}}

Albero UAD

Il primo albero utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]

U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,A={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},\,D={\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\end{pmatrix}}

con le corrispondenti per le coppie:

U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,A'={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}},\,D'={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}

Albero FB

Il secondo albero, introdotto da Firstov^[1] e Price^[7], utilizza le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

M_{1}={\begin{pmatrix}2&1&-1\\-2&2&2\\-2&1&3\end{pmatrix}},\,M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,M_{3}={\begin{pmatrix}2&-1&1\\2&2&2\\2&1&3\end{pmatrix}}

con le corrispondenti per le coppie:

M_{1}'={\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}},\,M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,M_{3}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&1\end{pmatrix}}

Albero UMT

Il terzo albero, determinato da Firstov^[1], ha le seguenti matrici di trasformazione per le terne:

U={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\end{pmatrix}},\,M=M_{2}={\begin{pmatrix}2&1&1\\2&-2&2\\2&-1&3\end{pmatrix}},\,T=M_{1}\cdot D={\begin{pmatrix}-2&3&3\\-6&2&6\\-6&3&7\end{pmatrix}}

con le corrispondenti per le coppie:

U'={\begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}},\,M'=M_{2}'={\begin{pmatrix}2&0\\1&-1\end{pmatrix}},\,T'=M_{1}'\cdot D'={\begin{pmatrix}1&3\\0&2\end{pmatrix}}

Note

^ ^a ^b ^c Firstov.
^ Berggren.
^ Barning.
^ Hall.
^ Kanga.
^ Alperin.
^ Price.

Bibliografia

(EN) R.C. Alperin, The Modular Tree of Pythagoras (PDF), in American Mathematical Monthly, vol. 112, 2005, pp. 807-816.
(NL) F.J.M. Barning, Over Pythagorese en bijna-Pythagorese Driehoeken en een Generatieproces Met Behulp van Unimodulaire Matrices (PDF), in Stichting Mathematisch Centrum. Zuivere Wiskunde, 1963.
(SV) B. Berggren, Pytagoreiska Trianglar, in Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi, n. 17, 1934, pp. 129-139. (Bozza di traduzione in inglese)
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(EN) A. Hall, Genealogy of Pythagorean Triads, in The Mathematical Gazette, vol. 54, n. 390, dicembre 1970, pp. 377-379.
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(EN) H.L. Price, The Pythagorean Tree: A New Species (PDF), 2008.
(EN) K. Ryde, Trees of Primitive Pythagorean Triples (PDF), maggio 2020.
(EN) J. Tong, Conjugates of Pythagorean Triples, in The Mathematical Gazette, vol. 87, n. 510, novembre 2003, pp. 496-499.

Voci correlate

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[Firstov-1] Firstov.

[2] Berggren.

[3] Barning.

[4] Hall.

[5] Kanga.

[6] Alperin.

[Price-7] Price.

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[7]