Algebra mostro di Lie

In matematica, l'algebra mostro di Lie è un'algebra di Kac–Moody generalizzata a dimensione infinita su cui agisce il gruppo mostro, che è stata utilizzata per dimostrare le congetture del monstrous moonshine.

Struttura

L'algebra mostro di Lie m è un'algebra di Lie Z²-graduata. Il pezzo di grado (m, n) ha dimensione c_mn se (m, n) ≠ (0, 0) e dimensione 2 se (m, n) = (0, 0). Gli interi c_n sono i coefficienti di qⁿ dell'invariante j come funzione modulare ellittica

$j(q)-744={\frac {1}{q}}+196884q+21493760q^{2}+\cdots .$

La sottoalgebra di Cartan è il sottospazio bidimensionale di grado (0, 0), quindi l'algebra mostro di Lie ha rango 2.

L'algebra mostro di Lie ha una sola radice reale semplice, data dal vettore (1, −1), e il gruppo di Weyl ha ordine 2, e agisce trasformando (m, n) in (n, m). Le radici semplici immaginarie sono i vettori (1, n) per n = 1, 2, 3, ..., e hanno molteplicità c_n.

La formula del denominatore per l'algebra mostro di Lie è la formula del prodotto per l'invariante j:

$j(p)-j(q)={\bigg (}{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}{\bigg )}\prod _{n,m=1}^{\infty }{(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

La formula del denominatore (a volte chiamata identità del prodotto infinito di Koike–Norton–Zagier) è stata scoperta negli anni '80. Diversi matematici, tra cui Masao Koike, Simon P. Norton e Don Zagier, fecero la scoperta in modo indipendente.

Costruzione

Ci sono due modi per costruire l'algebra mostro di Lie. Poiché è un'algebra di Kac-Moody generalizzata di cui sono note le radici semplici, può essere definita da generatori e relazioni espliciti; tuttavia, questa presentazione non fornisce un'azione del gruppo mostro su di essa.

Può anche essere costruito dall'algebra mostro di vertici utilizzando il teorema di Goddard-Thorn della teoria delle stringhe. Questa costruzione è molto più difficile, ma dimostra anche che il gruppo mostro agisce in modo naturale su di essa.

Bibliografia

• Richard Borcherds, Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster, in Proc. Natl. Acad. Sci. USA, vol. 83, n. 10, 1986, pp. 3068–71, Bibcode:1986PNAS...83.3068B, DOI:10.1073/pnas.83.10.3068, PMC 323452, PMID 16593694.
• Igor Frenkel, James Lepowsky e Arne Meurman, Vertex operator algebras and the Monster, Pure and Applied Mathematics, vol. 134, Academic Press, 1988, ISBN 0-12-267065-5.
• Victor Kac, Vertex algebras for beginners, University Lecture Series, vol. 10, American Mathematical Society, 1996, ISBN 0-8218-0643-2.; Victor G Kac, revised and expanded, 2nd edition, 1998, ISBN 0-8218-1396-X.
• R.W. Carter, Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge Studies, vol. 96, 2005, ISBN 0-521-85138-6.