Altezza di scala
In ambito scientifico, l’altezza di scala, normalmente denotata con la lettera H, è la distanza entro cui una data proprietà fisica varia di un fattore "e", il numero di Eulero, base del logaritmo naturale, pari a circa 2,71828.
Altezza di scala nei modelli semplici della pressione atmosferica
modificaNelle atmosfere planetarie, l'altezza di scala è l'incremento di altitudine necessario a far variare la pressione atmosferica di un valore e. Tale valore rimane costante se la temperatura rimane costante.
H può essere calcolato da:[1][2]
o in alternativa da
dove:
- k = costante di Boltzmann = 1,38×10−23 J·K−1
- R = costante dei gas
- T = temperatura atmosferica media in kelvin = 250 K[3] per la Terra
- m = massa di una molecola di gas (in kg)
- M = massa di una mole di gas
- g = accelerazione di gravità sulla superficie planetaria (m/s²)
La pressione (forza per unità di area) a una data altitudine è il risultato del peso dell'atmosfera soprastante. Se all'altezza z l'atmosfera ha una densità ρ e una pressione p, lo spostamento infinitesimo verticale verso l'alto dz provocherà una diminuzione di pressione dP eguale al peso dello strato di atmosfera di spessore dz.
Per cui:
dove g è l'accelerazione di gravità. Per piccoli dz è possibile considerare g come costante; il segno meno indica che la pressione diminuisce all'aumentare dell'altezza. Pertanto usando l'equazione di stato per un gas ideale di massa molecolare media M alla temperatura T, la densità può essere espressa come
Combinando queste equazioni si ottiene
che può essere incorporata nell'equazione per H vista sopra per dare:
che non varia se non varia la pressione. Integrando e assumendo che P0 sia la pressione all'altezza z = 0 (pressione a livello del mare), la pressione all'altezza z può essere scritta come:
Questo implica un decadimento esponenziale della pressione con l'altezza.[4]
Nell'atmosfera terrestre, la pressione a livello del mare P0 è in media di 1,01×105 Pa, mentre la massa molecolare media dell'aria secca è 28,964 u; ne consegue pertanto che 28,964 × 1,660×10−27 = 4,808×10−26 kg e g = 9,81 m/s². Essendo funzione della temperatura, l'altezza di scala dell'atmosfera terrestre è perciò 1,38/(4,808 × 9,81) × 103 = 29,26 m/deg.
Per alcuni valori rappresentativi della temperatura dell'aria, l'altezza di scala è:
- T = 290 K, H = 8500 m
- T = 273 K, H = 8000 m
- T = 260 K, H = 7610 m
- T = 210 K, H = 6000 m
Questi valori andrebbero confrontati con la temperatura e la densità dell'atmosfera terrestre in un grafico NRLMSISE-00, dove si vede che la densità dell'aria diminuisce da 1200 g/m3 a livello del mare a 0,53 = 0,125 g/m3 a 70 km, che corrisponde a un fattore 9600, indicando un fattore di scala di 70/ln(9600) = 7,64 km, consistente con una temperatura media dell'aria in quell'intervallo prossima a 260 K.
È da notare che:
- La densità è correlata alla pressione dalla legge dei gas perfetti, pertanto – a parte qualche scostamento legato al fatto che la temperatura varia – anche la densità diminuirà esponenzialmente con l'altezza partendo da un valore a livello del mare di ρ0 all'incirca uguale a 1,2 kg m−3.
- Per altezze superiori a 100 km, la diffusione molecolare implica che ogni specie atomica molecolare ha la propria altezza di scala.
Esempi planetari
modificaI valori approssimati di scala per alcuni corpi del sistema solare sono:
Note
modifica- ^ Glossary of Meteorology - scale height, su glossary.ametsoc.org, American Meteorological Society (AMS).
- ^ Pressure Scale Height, su scienceworld.wolfram.com, Wolfram Research.
- ^ (EN) Daniel J. Jacob, Introduction to Atmospheric Chemistry, su acmg.seas.harvard.edu, Princeton University Press, 1999. URL consultato il 22 maggio 2016 (archiviato dall'url originale il 10 aprile 2013).
- ^ Example: The scale height of the Earth's atmosphere (PDF), su iapetus.phy.umist.ac.uk. URL consultato il 22 maggio 2016 (archiviato dall'url originale il 16 luglio 2011).
- ^ (EN) Egidio Landi Degl'Innocenti, Spectropolarimetry with new generation solar telecopes (PDF), in Memorie della Società Astronomica Italiana, vol. 84, 2013, p. 391.
- ^ Venus Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
- ^ Earth Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
- ^ Mars Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
- ^ Jupiter Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013 (archiviato dall'url originale il 5 ottobre 2011).
- ^ Saturn Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013 (archiviato dall'url originale il 21 agosto 2011).
- ^ C. G. Justus, Aleta Duvall e Vernon W. Keller, Engineering-Level Model Atmospheres For Titan and Mars (DOC), su International Workshop on Planetary Probe Atmospheric Entry and Descent Trajectory Analysis and Science, Lisbon, Portugal, October 6–9, 2003, Proceedings: ESA SP-544, ESA, 1º agosto 2003. URL consultato il 28 settembre 2013.
- ^ Uranus Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.
- ^ Neptune Fact Sheet, su nssdc.gsfc.nasa.gov, NASA. URL consultato il 28 settembre 2013.