Angolo di parallelismo

In geometria iperbolica, l'angolo di parallelismo è una quantità dipendente da una retta $R$ e un punto $y$ disgiunto da $R$. Indica il minimo angolo che una retta parallela a $R$ e passante per $y$ forma con la normale a $R$ passante per $y$.

Angolo di parallelismo nel modello del semipiano. Qui la normale $N$ è verticale. Le rette $R$ e $Q$ sono asintoticamente parallele: convergono entrambe al punto all'infinito 1.

A differenza di quanto accade nella geometria euclidea, l'angolo di parallelismo non è retto, bensì acuto.

Definizione

Sia $R$ una retta nel piano iperbolico e $y$ un punto esterno ad essa. Sia $N$ la retta perpendicolare a $R$ passante per $y$. Sia $Q$ una retta passante per $y$ e asintoticamente parallela a $R$. L'angolo acuto formato dalle rette $Q$ e $N$ è l'angolo di parallelismo di $R$ e $y$.

Proprietà

Tutte le rette comprese fra le $x$ e $y$ qui disegnate sono parallele alla retta $l$.

Rette parallele

L'angolo di parallelismo può essere definito in modo analogo anche in geometria euclidea: in questa geometria, risulta sempre essere un angolo retto ed è quindi meno interessante. In geometria iperbolica, l'angolo $\theta$ è invece un angolo acuto, che può variare nell'intervallo aperto $(0,\pi /2)$.

Nella geometria iperbolica, le rette parallele a $R$ passanti per $y$ sono infinite. Queste sono esattamente le rette che formano con la normale $N$ un angolo acuto maggiore o uguale a $\theta$. Le due rette con angolo di parallelismo $\theta$ sono asintoticamente parallele a $R$. Tutte le rette con angolo maggiore di $\theta$ sono ultraparallele con $R$.

Dipendenza dalla distanza

L'angolo di parallelismo $\theta$ in realtà dipende soltanto dalla distanza $d$ fra il punto $y$ e la retta $R$. Si tratta quindi di una funzione $\theta (d)$ definita per ogni valore non negativo di $d$. Si tratta di una funzione decrescente. La relazione fra $\theta$ e $d$ può essere espressa concretamente con una delle formule seguenti, tutte equivalenti:

• $\tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-d},$
• $\sin \theta ={\frac {1}{\cosh d}},$
• $\tan \theta ={\frac {1}{\sinh d}},$
• $\cos \theta =\tanh d.$

Limiti

Quando la distanza $d$ tende a zero, l'angolo di parallelismo $\theta$ tende all'angolo retto $\pi /2$. Questo fatto è in accordo con il principio seguente: la geometria iperbolica, letta localmente e vista con una lente di ingrandimento, assomiglia alla geometria euclidea (si tratta di un principio generale della geometria riemanniana, valido ad esempio anche nella geometria sferica).

Nelle formule precedenti si è supposto lo spazio iperbolico avente curvatura negativa -1. In uno spazio iperbolico con curvatura negativa arbitraria $k<0$, le due quantità sono in relazione secondo la formula seguente:

$\tan {\frac {\theta }{2}}=e^{-{\frac {d}{k}}},$

Voci correlate

• Parallelismo in geometria iperbolica

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Angolo di parallelismo, su MathWorld, Wolfram Research.