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L'approssimazione diofantea è il campo della matematica che tratta dell'approssimazione dei numeri reali mediante numeri razionali. Prende il nome dal matematico greco Diofanto di Alessandria.

DescrizioneModifica

La piccolezza della distanza (in valore assoluto) del numero reale da approssimare al numero razionale che lo approssima è una semplice misura della bontà dell'approssimazione. Una misura più fine considera bontà dell'approssimazione confrontando la differenza tra i due numeri con la grandezza del denominatore.

Attraverso l'uso di frazioni continue è possibile dimostrare che ogni convergente   di ogni numero irrazionale   è tale che

 

Questa disuguaglianza può essere migliorata fino a dimostrare che, per ogni irrazionale  , esistono infiniti razionali   tali che

 

Disuguaglianze più precise (ovvero dove   è sostituito da un numero maggiore) possono avere un numero solo finito di soluzioni; questo è il caso se il numero irrazionale in questione è il numero aureo  .

Joseph Liouville, nel 1844, dimostrò che se il numero   è algebrico di grado n (cioè esiste un polinomio di grado n che lo ammette come radice, ma non esistono polinomi di grado inferiore con questa proprietà), allora vale per ogni numero razionale   vale

 

per qualche costante A > 0. Liouville riuscì anche a costruire dei numeri che non verificano questa proprietà (i numeri di Liouville), che furono i primi esempi di numeri non algebrici, cioè trascendenti.

Anche questa disuguaglianza può essere migliorata. Axel Thue, Carl Ludwig Siegel e Klaus Roth migliorarono successivamente questo teorema: nel 1955, Roth enunciò quello che oggi è noto come teorema di Thue-Siegel-Roth, che afferma che per ogni   esistono solamente un numero finito di razionali   tali che

 

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