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In matematica, un arco (o cammino) in uno spazio topologico è una funzione continua dall'intervallo unitario in .

Gli archi sono alla base della definizione del gruppo fondamentale, e quindi della topologia algebrica.

Indice

DefinizioniModifica

Il punto iniziale dell'arco è  , mentre il punto finale è  . Se   e   sono due punti di   (anche coincidenti), un "arco da   a  " è un arco in   il cui punto iniziale è   e il cui punto finale è  . Se  , si parla di cammino chiuso, o di cappio o di laccio.

Notiamo che un arco non è solamente un sottoinsieme di  , ma una funzione da   in  : possono esistere archi diversi ma con lo stesso punto iniziale e finale e con la stessa immagine.

Uno spazio topologico in cui per ogni coppia   e   di punti esiste un arco avente questi come punti iniziale e finale è detto connesso per archi; poiché ogni punto è contenuto in un massimo sottospazio connesso per archi, ogni spazio topologico può essere decomposto in modo unico in componenti connesse per archi. L'insieme delle componenti connesse per archi di   viene denotato con il simbolo  .

ComposizioneModifica

Due archi   e   di   tali che   possono essere composti, dando luogo ad un nuovo arco  , che può essere visto come l'arco ottenuto percorrendo prima   e poi  : formalmente,   è la funzione da   a   tale che

 .

Questa operazione non è associativa: infatti,   e   hanno lo stesso supporto, ma viaggiano a "velocità diverse": la prima percorre   in un tempo ¼, quindi   in un altro ¼, e   in tempo 1/2; la seconda invece percorre   in tempo 1/2 e le altre due ciascuna in tempo ¼.

Per risolvere questo problema si introduce la relazione di equivalenza omotopica tra archi, che permette tra l'altro di riparametrizzare gli archi. L'insieme dei cammini chiusi con punto iniziale  , modulo omotopia, è chiamato gruppo fondamentale di   con base  , ed è denotato con  ; se   è connesso per archi allora la classe di isomorfismo di questo gruppo non dipende dal punto   scelto.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica