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Illustrazione di una omotopia fra due curve, e

In topologia, due funzioni continue da uno spazio topologico ad un altro sono dette omotope (dal greco homos = identico e topos = luogo) se una delle due può essere "deformata con continuità" nell'altra, e tale trasformazione è detta omotopia fra le due funzioni.

Un uso importante dell'omotopia è nella definizione dei gruppi di omotopia (il più importante fra questi è il gruppo fondamentale), invarianti molto importanti per distinguere spazi topologici non omeomorfi e per formalizzare rigorosamente nozioni intuitive quali "il numero di buchi" di uno spazio. L'omotopia definisce una relazione di equivalenza sull'insieme delle funzioni continue da ad .

Definizione formaleModifica

 
Un'omotopia fra una tazza ed una ciambella.

Formalmente, un'omotopia fra due funzioni continue   e   da uno spazio topologico   a uno spazio topologico   è una funzione continua   dal prodotto dello spazio   con l'intervallo unitario   a   tale che, per tutti i punti   in  ,   e  .

Se pensiamo al secondo parametro di   come il "tempo", allora   descrive una "deformazione continua" di   in  : al tempo   abbiamo la funzione  , al tempo   abbiamo la funzione  .

EsempiModifica

Due funzioni continue   qualsiasi fra spazi euclidei sono omotope. Si può infatti trasformare con continuità l'una nell'altra con la seguente omotopia:

 
 

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni   definite su uno spazio topologico   arbitrario. Notiamo che, anche se   e   sono iniettive, la "deformazione al tempo  " data da   può non essere iniettiva.

ProprietàModifica

Relazione di equivalenzaModifica

Essere omotopi è una relazione di equivalenza sull'insieme di tutte le funzioni continue da   a  . Questa relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni in questo senso: se   sono omotope, e   sono omotope, allora anche le loro composizioni   e   sono omotope.

Una funzione   è detta omotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante. Se   è connesso per archi, le funzioni costanti da   in   sono tutte omotope fra loro. Uno spazio topologico connesso per archi   per cui ogni funzione continua   è omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo è contrattile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere "contratto ad un punto" in modo continuo.

Uno spazio   è contrattile se e solo se la applicazione identica da   in sé è omotopicamente nulla.

Spazi omotopicamente equivalentiModifica

Dati due spazi   e  , diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni   e   tali che   è omotopa alla funzione identità   su   e   è omotopa alla funzione identità   su  . Le applicazioni   e   sono dette equivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio   è contrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico   fatto da un punto solo. Chiaramente, ogni omeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero: uno spazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

Intuitivamente, due spazi   e   sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l'uno nell'altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione. Ad esempio, una palla è omotopicamente equivalente ad un punto, mentre   è omotopicamente equivalente alla circonferenza  .

Uno spazio omotopicamente equivalente al punto è detto contrattile o contraibile. Esempi di spazi contraibili sono la palla  -dimensionale e  , per qualsiasi  . Un altro esempio è la superficie dell'ipersfera   per   dispari, che possiede una caratteristica di Eulero  , pari a quella del punto (per   pari, la caratteristica vale  , come quella della superficie sferica).

Proprietà invarianti per omotopiaModifica

Molte delle proprietà invarianti per omeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia. Se   e   sono omotopicamente equivalenti, allora

  • se   è connesso, allora lo è anche  
  • se   è connesso per archi, allora lo è anche  
  • se   e   sono connessi per archi, allora i gruppi fondamentali di   e   sono isomorfi, così come i gruppi di omotopia superiori.
  • in particolare, se   è semplicemente connesso, allora lo è anche  
  • i gruppi di omologia e di coomologia di   e   sono isomorfi
  • il genere di una superficie è invariante per omotopia.

In particolare, uno spazio contraibile è semplicemente connesso. Non vale il contrario: la sfera   è semplicemente connessa per ogni   maggiore di 1 e non contraibile.

D'altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi. Esistono esempi di spazi   e   omotopicamente equivalenti dove:

  •   è compatto e   no (  è un punto e   uno spazio euclideo)
  •   è una varietà topologica o differenziabile e   no
  •   e   sono varietà topologiche di dimensioni diverse
  •   e   hanno omologia a supporto compatto diversa

Categoria delle omotopie e invarianti per omotopieModifica

Più in astratto, si può ricorrere ai concetti della teoria delle categorie. Si può definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue. Due spazi topologici   e   sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un invariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (risp. omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il gruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica, la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodità tecnica.

Omotopia relativaModifica

È necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale. Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio. Formalmente: se   e   sono applicazioni continue da   a   e   è un sottoinsieme di  , allora diciamo che   e   sono omotope relativamente a   se esiste una omotopia   tra   e   tale che   per ogni   e  .

IsotopiaModifica

Nel caso in cui le due funzioni continue date   e   dallo spazio topologico   allo spazio topologico   siano un omeomorfismo con l'immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da   alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse 'attraverso omeomorfismi con l'immagine'. Questo dà origine al concetto di isotopia, cioè una omotopia   (nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni   fissato,   è un omeomorfismo sull'immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia. Ad esempio:

  • l'applicazione dal disco unitario in   definita da  , che consiste in una rotazione di 180 gradi rispetto all'origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo   con   che varia da 0 gradi a 180
  • l'applicazione dall'intervallo   in   definita da   non è isotopa all'identità! (d'altro canto, tutte le mappe a valori in   sono omotope, perché   è contrattile)
  • In generale, l'applicazione dalla palla in   definita da   è isotopa all'identità se e solo se   è pari: questo perché per   dispari tale mappa cambia l'orientazione della palla.

Isotopia ambienteModifica

Una isotopia ambiente di uno spazio topologico   è una isotopia fra la funzione identità   ed un altro omeomorfismo  .

L'isotopia ambiente è usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici, ad esempio nella teoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti? Prendiamo due nodi   e   in uno spazio a tre dimensioni. L'idea intuitiva di "deformazione" di un nodo nell'altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità   ed un omeomorfismo   che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che  .

BibliografiaModifica

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