Intervallo (matematica)

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$ . Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

DefinizioneModifica

Formalmente, un sottoinsieme $S$ dei numeri reali $\mathbb {R}$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ di $S$ , ogni elemento $z$ appartenente a $\mathbb {R}$ tale che $x<z<y$ appartiene anch'esso in $S$ . In $\mathbb {R}$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di $\mathbb {R}$ sono quindi gli insiemi seguenti (dove $a$ e $b$ sono due numeri reali tali che $a<b$ ):^[1]

$(a,b)=\{x|a<x<b\}$ (intervallo aperto)
$[a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}$ (intervallo chiuso)
$[a,b)=\{x|a\leq x<b\}$ (intervallo chiuso a sinistra)
$(a,b]=\{x|a<x\leq b\}$ (intervallo chiuso a destra)
$(a,+\infty )=\{x|x>a\}$ (intervallo aperto infinito a destra)
$[a,+\infty )=\{x|x\geq a\}$ (intervallo chiuso infinito a destra)
$(-\infty ,b)=\{x|x<b\}$ (intervallo aperto infinito a sinistra)
$(-\infty ,b]=\{x|x\leq b\}$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)
$(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ (tutta la retta reale)
$[a,a]=\{a\}$ (un punto)
l'insieme vuoto

I punti $a$ e $b$ sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra $[$ $]$ indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda $($ $)$ indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa $]$ e $[$ rispettivamente al posto di $($ e $)$ . Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2^[2] come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza $b-a$ , i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza $0$ .

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso $[0,1]$ .

ProprietàModifica

L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo. L'intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente l'insieme vuoto.

L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ è ancora un intervallo.
Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a,b]$ .
Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, $[0,1]$ , $[0,1)$ , $(0,1)$ o l'insieme vuoto.

Notazioni alternativeModifica

Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.