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Intervallo (matematica)

sottoinsieme di numeri reali compresi tra due estremi

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi e . Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Indice

DefinizioneModifica

Formalmente, un sottoinsieme   dei numeri reali   o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi   e   di  , ogni altro elemento   tale che   sta anch'esso in  . In   gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di   sono quindi gli insiemi seguenti (dove   e   sono due numeri reali tali che  ):[1]

  1.   (intervallo aperto)
  2.   (intervallo chiuso)
  3.   (intervallo chiuso a sinistra)
  4.   (intervallo chiuso a destra)
  5.   (intervallo aperto infinito a destra)
  6.   (intervallo chiuso infinito a destra)
  7.   (intervallo aperto infinito a sinistra)
  8.   (intervallo chiuso infinito a sinistra)
  9.   (tutta la retta reale)
  10.   (un punto)
  11. l'insieme vuoto

I punti   e   sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra     indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda     indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa   e   rispettivamente al posto di   e  . Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 [2] come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza  , i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza  .

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso  .

ProprietàModifica

  • L'unione e l'intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
  • L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da   in   è ancora un intervallo.
  • Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
  • Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo  .
  • Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto,  ,  ,   o l'insieme vuoto.

Notazioni alternativeModifica

Raramente, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

NoteModifica

  1. ^ Manetti, M., p. 10
  2. ^ ise.ncsu.edu, http://www.ise.ncsu.edu/jwilson/files/mathsigns.pdf.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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