Intervallo (matematica)

In matematica, un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$ . Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all'intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente, un sottoinsieme $S$ dei numeri reali $\mathbb {R}$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ di $S$ , ogni elemento $z$ appartenente a $\mathbb {R}$ tale che $x<z<y$ appartiene anch'esso in $S$ . In $\mathbb {R}$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

Gli intervalli di $\mathbb {R}$ sono quindi gli insiemi seguenti (dove $a$ e $b$ sono due numeri reali tali che $a<b$ ):^[1]

$(a,b)=\{x|a<x<b\}$ (intervallo aperto)
$[a,b]=\{x|a\leq x\leq b\}$ (intervallo chiuso)
$[a,b)=\{x|a\leq x<b\}$ (intervallo chiuso a sinistra)
$(a,b]=\{x|a<x\leq b\}$ (intervallo chiuso a destra)
$(a,+\infty )=\{x|x>a\}$ (intervallo aperto infinito a destra)
$[a,+\infty )=\{x|x\geq a\}$ (intervallo chiuso infinito a destra)
$(-\infty ,b)=\{x|x<b\}$ (intervallo aperto infinito a sinistra)
$(-\infty ,b]=\{x|x\leq b\}$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)
$(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ (tutta la retta reale)
$[a,a]=\{a\}$ (un punto)
l'insieme vuoto

I punti $a$ e $b$ sono gli estremi dell'intervallo. Quindi una parentesi quadra $[$ $]$ indica che l'estremo appartiene all'intervallo, mentre una parentesi tonda $($ $)$ indica che non vi appartiene. Una notazione alternativa usa $]$ e $[$ rispettivamente al posto di $($ e $)$ . Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2^[2] come equivalenti sebbene la notazione che prevede l'utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza $b-a$ , i cinque seguenti hanno lunghezza infinita, il punto e l'insieme vuoto hanno lunghezza $0$ .

L'intervallo unitario è l'intervallo chiuso $[0,1]$ .

Proprietà

L'unione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo. L'intersezione di due intervalli è sempre un intervallo, eventualmente l'insieme vuoto.
L'immagine di un intervallo mediante una funzione continua da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$ è ancora un intervallo.
Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a,b]$ .
Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli: un punto, $[0,1]$ , $[0,1)$ , $(0,1)$ o l'insieme vuoto.

Notazioni alternative

Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico, il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico. Ad esempio 3 ÷ 7 vuol dire 'da tre a sette', estremi compresi.

Note

^ Manetti, M., p. 10.
^ (EN) ISO 80000-2 Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology (PDF), su ise.ncsu.edu. URL consultato il 18 marzo 2024 (archiviato dall'url originale il 31 ottobre 2014).

Bibliografia

Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.

Voci correlate

Intervalli in un qualsiasi insieme ordinato
Numeri reali

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Interval, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Intervallo, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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[1] Manetti, M., p. 10.

[2] (EN) ISO 80000-2 Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology (PDF), su ise.ncsu.edu. URL consultato il 18 marzo 2024 (archiviato dall'url originale il 31 ottobre 2014).

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