Assiomi di Huzita-Hatori

Gli assiomi di Huzita-Hatori sono gli assiomi su cui si basa la matematica degli origami. I primi sei assiomi sono stati formulati dal matematico italo-giapponese Humiaki Huzita nel 1992, e descrivono le operazioni che sono consentite quando si piega un pezzo di carta, come nell'arte dell'origami. Il settimo assioma è stato aggiunto dal matematico giapponese Koshiro Hatori.

I sette assiomi

Gli assiomi si basano sulle ipotesi che ogni operazione sia eseguita su un piano, e che tutte le piegature siano in linea retta. Gli assiomi sono i seguenti:

1. Dati due punti p₁ e p₂, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.
2. Dati due punti p₁ e p₂, esiste un'unica piegatura che porti p₁ su p₂.
3. Date due linee rette l₁ e l₂, esiste sempre una piegatura che porti l₁ su l₂.
4. Dati un punto p e una retta l, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.
5. Dati due punti p₁ e p₂ e una retta l, se esiste una piegatura passante per p₂ che porti p₁ su l, allora tale piegatura può essere costruita.
6. Dati due punti p₁ e p₂ e due rette l₁ e l₂, se esiste una piegatura che porti p₁ su l₁ e p₂ su l₂. allora tale piegatura può essere costruita.
7. Dati un punto p e due rette l₁ e l₂, esiste sempre una piegatura perpendicolare a l₂ che porti p su l₁.

Si può notare che l'assioma (5) può avere zero, una o due soluzioni, mentre l'assioma (6) può averne zero, una, due o tre. In questo modo, le costruzioni geometriche che ne risultano sono più forti delle costruzioni con riga e compasso, dove il numero massimo di soluzioni di un assioma è due. Per questo motivo le costruzioni con riga e compasso possono risolvere al massimo equazioni di secondo grado, mentre le costruzioni per mezzo di origami possono risolvere anche equazioni di terzo grado.

Dettagli

Assioma 1

Dati due punti p₁ e p₂, esiste un'unica piegatura che passi per entrambi.

In forma parametrica, l'equazione della retta passante per i due punti è:

$F(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$

Assioma 2

Dati due punti p₁ e p₂, esiste un'unica piegatura che porti p₁ su p₂.

Questo assioma è equivalente a trovare l'asse del segmento p₁p₂. Ciò può essere fatto in quattro passi:

• Usare l'Assioma 1 per trovare la linea tra p₁ e p₂, data da $P(s)=p_{1}+s(p_{2}-p_{1})$
• Trovare il punto medio (p_mid) di P(s)
• Trovare il vettore v^perp perpendicolare a P(s)
• L'equazione parametrica della piegatura è quindi:

$F(s)=p_{\mathrm {mid} }+s\cdot \mathbf {v} ^{\mathrm {perp} }$

Assioma 3

Date due linee rette l₁ e l₂, esiste sempre una piegatura che porti l₁ su l₂.

Questo assioma equivale a trovare la bisettrice dell'angolo compreso tra l₁ e l₂. Chiamiamo p₁ e p₂ due punti qualsiasi su l₁, e q₁ e q₂ due punti qualsiasi su l₂. Inoltre, chiamiamo u e v i versori che identificano le direzioni rispettivamente di l₁ e di l₂. Si ha quindi:

$\mathbf {u} =(p_{2}-p_{1})/\left|(p_{2}-p_{1})\right|$

$\mathbf {v} =(q_{2}-q_{1})/\left|(q_{2}-q_{1})\right|$

Se le due linee non sono parallele, il loro punto di intersezione è:

$p_{\mathrm {int} }=p_{1}+s_{\mathrm {int} }\cdot \mathbf {u}$

dove

$s_{int}={\frac {-v^{\perp }\cdot (p_{1}-q_{1})}{-\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }}$

La bisettrice di una delle bisettrici è data da:

$\mathbf {w} ={\frac {\left|\mathbf {u} \right|\mathbf {v} +\left|\mathbf {v} \right|\mathbf {u} }{\left|\mathbf {u} \right|+\left|\mathbf {v} \right|}}$

E l'equazione parametrica della piegatura è quindi:

$F(s)=p_{\mathrm {int} }+s\cdot \mathbf {w}$

Esiste anche una seconda bisettrice, perpendicolare alla prima e passante per p_int. Piegare lungo questa seconda bisettrice porterà comunque al risultato desiderato di portare l₁ su l₂. Può non essere possibile eseguire l'una o l'altra tra queste piegature, a seconda della posizione del punto di intersezione

Se le due linee sono parallele, non hanno intersezioni. La piegatura dovrà essere la linea mediana tra l₁ e l₂, parallela ad esse.

Assioma 4

Dati un punto p₁ e una retta l₁, esiste un'unica piegatura perpendicolare a l che passi per il punto p.

Questo è equivalente a trovare una perpendicolare a l₁ che passi per p₁. Se troviamo un vettore v perpendicolare a l₁, allora l'[equazione parametrica] della piegatura sarà:

$F(s)=p_{1}+s\cdot \mathbf {v}$

Assioma 5

Dati due punti p₁ e p₂ e una retta l, se esiste una piegatura passante per p₂ che porti p₁ su l, allora tale piegatura può essere costruita.

Esempio in cui non ci sono soluzioni: i punti p₁ e p₂ si trovano su una retta perpendicolare a l e la distanza di p₂ da l è maggiore della distanza di p₁ da l.

Assioma 6

Dati due punti p₁ e p₂ e due rette l₁ e l₂, se esiste una piegatura che porti p₁ su l₁ e p₂ su l₂, allora tale piegatura può essere costruita.

Esempio in cui non ci sono soluzioni: le due rette l₁ e l₂ sono parallele, i punti p₁ e p₂ si trovano su una retta perpendicolare a l₁ e l₂, dalla stessa parte del piano rispetto alle due rette e la distanza di p₁ da l₁ è uguale alla distanza di p₂ da l₂.

Questo assioma equivale a trovare una retta che sia contemporaneamente tangente a due parabole, e può essere considerata equivalente alla risoluzione di un'equazione di terzo grado. Le due parabole hanno fuochi rispettivamente in p₁ e p₂, con direttrici definite da l₁ e l₂.

Assioma 7

Dati un punto p e due rette l₁ e l₂, esiste sempre una piegatura perpendicolare a l₂ che porti p su l₁.

Koshiro Hatori ha scoperto questo assioma, e Robert Lang ha dimostrato che completa la lista degli assiomi dell'origami.

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Collegamenti esterni

• Origami Geometric Constructions by Thomas Hull
• A Mathematical Theory of Origami Constructions and Numbers by Roger C. Alperin