Assiomi di chiusura di Kuratowski

In topologia e nella branche matematiche ad essa collegate gli assiomi di chiusura di Kuratowski sono un gruppo di assiomi che possono essere utilizzati per definire una struttura topologica su un insieme. Sono equivalenti alla più comune definizione basata sugli insiemi aperti. Furono introdotti per la prima volta da Kazimierz Kuratowski, in una forma lievemente differente applicabile esclusivamente agli spazi di Hausdorff.[senza fonte]

Un gruppo simile di assiomi può essere utilizzato per definire una struttura topologica sfruttando esclusivamente la nozione duale di operatore interno.

DefinizioneEdit

Uno spazio topologico   è un insieme   a cui è associata una funzione:

 

chiamata operatore di chiusura dove   è l'insieme delle parti di  .

L'operatore di chiusura deve soddisfare le seguenti proprietà per tutti gli  

  1.   (Estensività)
  2.   (Idempotenza)
  3.   (Conservazione dell'unione binaria)
  4.   (Conservazione delle unioni nulle)

Se il secondo assioma, quello dell'idempotenza, è rilassato (ossia   al posto di  ), allora risulta definito da questo gruppo di assiomi un operatore di prechiusura.

Collegamenti con la topologia classicaEdit

Induzione di una topologiaEdit

Un punto   è detto chiuso rispetto ad   in   se  

Definendo un operatore di chiusura su   risulta naturalmente indotta una topologia (un insieme contenente tutti gli insiemi aperti) su  . Un insieme   è detto aperto se e solo se   e poniamo  . La coppia   soddisfa gli assiomi di definizione di uno spazio topologico:

L'insieme vuoto e l'insieme   sono aperti:  

Per l'estensività   e poiché   sappiamo che  , pertanto  . Dalla conservazione delle unioni nulle segue analogamente che  .

L'unione arbitraria di insieme aperti è un aperto:

Sia   una collezione di indici e consideriamo l'unione degli   dove   è aperto per ogni  . Per le leggi di De Morgan si ha

  quindi
 .
 
 

Per la conservazione delle unioni binarie:

 
 
 .

Quindi   Per l'estensività segue che  .

Pertanto, A è un aperto.

L'intersezione di un numero finito di insiemi aperti è un aperto:

Sia   una collezione finita di indici e siano gli   aperti  .

 

Dalla conservazione delle unioni nulle segue per induzione che:

 
 
  è aperto.

Richiami alle definizioni topologicheEdit

Una funzione tra due insieme topologici

 

è detta continua se per ogni sottoinsieme   di  

 

Voci correlateEdit

Collegamenti esterniEdit

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