Bandiera (spazio vettoriale)

In matematica, in particolare in algebra lineare, una bandiera è una successione di sottospazi vettoriali con determinate proprietà di uno spazio vettoriale dato.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Si chiama bandiera (viene talvolta usato anche il termine ventaglio) per $V$ ogni successione $\{V_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$ di sottospazi di $V$ tali che:

• $V_{1}\subseteq V_{2}\subseteq \dots \subseteq V_{n};$
• $\dim V_{i}=i$ per ogni $i$.

Osserviamo inoltre che ogni base $\{v_{1},\dots ,v_{n}\}$ di $V$ induce una bandiera formata da $V_{i}=\mathrm {Span} (v_{1},\dots ,v_{i})$ e per ogni bandiera esiste una base che la induce.

Base a bandiera di un endomorfismo

Sia $T\colon V\to V$ un endomorfismo, $B$ base di $V$. $B$ è base a bandiera per $T$ se i sottospazi della bandiera indotta da $B$ sono $T$-invarianti, ossia per ogni $i$: $T[\mathrm {Span} (v_{1},\dots ,v_{i})]\subseteq \mathrm {Span} (v_{1},\dots ,v_{i})$.

Questa nozione è utile per stabilire se $T$ è triangolabile, infatti un endomorfismo è triangolabile se e solo se esiste una base a bandiera per tale endomorfismo.

Voci correlate

• Spazio vettoriale
• Triangolarizzabilità
• Endomorfismo
• Autovettore e autovalore