Cardinalità

In teoria degli insiemi per cardinalità (o numerosità o potenza) di un insieme finito si intende il numero dei suoi elementi.

La cardinalità di un insieme $A$ è indicata con i simboli $\left\vert A\right\vert$ , $\#(A)$ oppure $\operatorname {card} (A)$ .

Definizione

La definizione, valida anche per insiemi infiniti, è astratta ed è una generalizzazione del concetto di numero naturale.

La definizione segue i seguenti passi:

due insiemi A e B si dicono equicardinali o equipotenti o anche "equinumerosi" se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, vale a dire, se a ogni elemento di A si può associare uno e un solo elemento di B, e viceversa;
si constata che l'equicardinalità è una relazione di equivalenza (in realtà essa gode solamente delle proprietà che caratterizzano le relazioni d'equivalenza ma in teoria assiomatica degli insiemi non è una relazione d'equivalenza a causa del fatto che: " l'insieme di tutti gli insiemi equipotenti a un assegnato insieme A" non è un insieme, ma una classe propria). Si dice che due insiemi hanno la stessa cardinalità (o la stessa potenza) se sono equicardinali;
gli insiemi finiti si possono collocare in classi di equicardinalità e ciascuna di queste classi di equivalenza può essere rappresentata dall'intero naturale che fornisce il numero di ciascuno degli insiemi; quindi gli interi naturali possono essere identificati con le potenze degli insiemi finiti;
si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con l'insieme dei naturali: questa classe si dice cardinalità del numerabile e si può considerare come un numero; questo si denota con il simbolo $\aleph _{0}$ , da leggersi aleph-zero;
indichiamo con $\aleph _{1}$ la più piccola cardinalità più che numerabile. Questo processo può proseguire e si può individuare una successione di entità $\aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots$ che si dicono numeri cardinali transfiniti;
si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con i numeri reali (o con i numeri reali dell'intervallo [0,1]): questa classe si dice cardinalità del continuo e si può considerare come un numero che si denota con $\mathbf {c}$ . L'Ipotesi del continuo afferma $\mathbf {c} =\aleph _{1}$ ;
si considera la classe degli insiemi che si possono porre in biiezione con la totalità delle funzioni di variabile reale a valori reali; questa classe si dice cardinalità delle funzioni e si denota con $2^{\mathbf {c} }$ . Secondo l'ipotesi del continuo generalizzata $2^{\mathbf {c} }=\aleph _{2}$ .

È fondamentale il teorema di Cantor-Bernstein:

siano $A$ e $B$ due insiemi; se esistono un'applicazione iniettiva $f$ di $A$ in $B$ e un'applicazione iniettiva $g$ di $B$ in $A,$ allora $A$ e $B$ sono equipotenti.

Ad esempio, l'intervallo di numeri reali $(0,1)$ è equipotente all'intervallo $(0,1];$ infatti la funzione $f\colon (0,1)\to (0,1],$ $f(x)=x$ è iniettiva, ma anche la funzione $g\colon (0,1]\to (0,1),$ $g(x)=x/2$ è iniettiva, quindi per il teorema di Cantor-Bernstein gli insiemi $(0,1)$ e $(0,1]$ sono equipotenti.