In matematica, un operatore di classe traccia o operatore nucleare è un operatore compatto per il quale può essere definita una traccia. I termini "operatore di classe traccia" e "operatore nucleare" sono generalmente equivalenti, nonostante alcuni autori utilizzino il primo termine per identificare gli operatori nucleari definiti su uno spazio di Hilbert, riservando il secondo per gli operatori definiti su un più generale spazio di Banach.

DefinizioneModifica

Nel seguito,   è uno spazio di Hilbert complesso, con   antilineare nella prima variabile e lineare nella seconda. Sia   un operatore lineare e positivo, ovvero tale che

 

Data una base ortonormale   di  , si definisce la traccia di   il numero

 

Nel caso in cui   non sia separabile, tale somma va intesa come il limite di un net. Si dimostra che tale somma è indipendente dalla scelta della base.

L'operatore   è detto di classe traccia se la traccia del suo modulo è finita, ovvero se:[1]

 

La traccia di un operatore può essere scritta in modo equivalente come:

 

Se   ha dimensione finita, ogni operatore è di classe traccia e la precedente somma è equivalente alla definizione di traccia di una matrice.

Se un operatore positivo (e quindi autoaggiunto)   è di classe traccia allora

 

In particolare un operatore di classe traccia è limitato, in quanto la norma di   coincide con quella di  .

Inoltre, un operatore autoaggiunto è di classe traccia se e solo se lo sono la sua parte positiva   e negativa  .

ProprietàModifica

  • Lo spazio degli operatori di classe traccia è uno *-ideale nello spazio degli operatori limitati definiti su uno spazio di Hilbert.[1] Questo significa che:
    • Lo spazio degli operatori di classe traccia è uno spazio vettoriale.
    • Se   è di classe traccia e   è un operatore limitato su  , allora   e   sono di classe traccia.
    • Se   è di classe traccia, lo è anche il suo aggiunto  .
  • Definendo la traccia come:
     
lo spazio degli operatori di classe traccia è uno spazio di Banach con la norma  .[2]
  • Un operatore di classe traccia è un operatore compatto. Viceversa, un operatore compatto è di classe traccia se e solo se[2]
 
dove i numeri   sono i valori singolari dell'operatore.
  • Gli operatori a rango finito sono densi nello spazio degli operatori di classe traccia rispetto alla norma  .
  • Si dimostra che lo spazio degli operatori di classe traccia è generato dagli operatori di classe traccia positivi. Questo implica che la traccia si estende ad un funzionale lineare sullo spazio degli operatori di classe traccia. In particolare, se   è di classe traccia allora
 
è assolutamente convergente, in quanto l'indipendenza dalla base implica la convergenza incondizionata.

NoteModifica

  1. ^ a b Reed, Simon, Pag. 207.
  2. ^ a b Reed, Simon, Pag. 209.

BibliografiaModifica

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

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