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In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.[1]

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio topologico. Un sottoinsieme   di   è denso in   se l'unico sottoinsieme chiuso di   contenente   è   stesso, ovvero la chiusura di   è  .

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data.   è denso in   se e solo se:

EsempiModifica

  • Ogni spazio topologico   è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di   e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in  .
  • Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numero algebrici, dei numero trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
  • Se   e   è denso in  , allora anche   è denso in  .
  • Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
  • Il complementare di un insieme mai denso è denso.
  • Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
  • Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme   delle funzioni continue sull'intervallo  , dotato della distanza
 
  • Uno spazio metrico   è denso nel suo completamento  

NoteModifica

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 6.

BibliografiaModifica

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

Voci correlateModifica

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