Completezza (statistica)

In statistica la completezza è una proprietà legata ad una misura di probabilità, tale per cui è possibile stimare tutti i parametri appartenenti a tale distribuzione tramite delle statistiche date ed assicura che le distribuzioni in corrispondenza di parametri diversi saranno distinte.

La completezza è di notevole rilievo per la ricerca di stimatori non distorti a varianza minima analizzata nel teorema di Lehmann-Scheffè.

DefinizioneModifica

Data una misura di probabilità   avente legge di probabilità :   .

Diremo che il vettore   è completo rispetto al parametro   se   funzione misurabile e   si ha che se:

  implica che   quasi certamente, ovvero  

EsempioModifica

Sia   con   la distribuzione continua uniforme e  . Data   una funzione misurabile ho che :

  implica:

 

Perciò semplificando ottengo:

 

Da cui:

 

e per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

 

Perciò   quasi certamente

ProprietàModifica

Data una statistica   ed una biezione   indipendente da   allora   è anch'essa una statistica completa per  

Famiglia esponenzialeModifica

Date variabili aleatorie   indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita   la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro   se può essere scritta in questo modo:

 

Con   e con supporto indipendente da  

Se vale tale proprietà allora   e   sono variabili aleatorie complete se   contiene un intervallo non degenere

Teorema di Lehmann-ScheffèModifica

Dato un campione aleatorio   indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro  

Data una statistica   che è sufficiente e completa per   e dato uno stimatore del parametro   :   che è non distorto  .

Allora   è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di  

BibliografiaModifica

  • Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica