Completezza (statistica)

In statistica la completezza è una proprietà legata ad una misura di probabilità, tale per cui è possibile stimare tutti i parametri appartenenti a tale distribuzione tramite delle statistiche date ed assicura che le distribuzioni in corrispondenza di parametri diversi saranno distinte.

La completezza è di notevole rilievo per la ricerca di stimatori non distorti a varianza minima analizzata nel teorema di Lehmann-Scheffé.

Definizione

Data una misura di probabilità $P_{\underline {X}}(x)$ avente legge di probabilità:

$P_{\underline {X}}=\left\{{P_{\underline {X}}}^{\underline {\theta }};{\underline {\theta }}\in \mathrm {H} \subset {\mathbb {R} }^{m}\right\}$

Diremo che il vettore ${\underline {X}}$ è completo rispetto al parametro ${\underline {\theta }}$ se $\forall g$ funzione misurabile e $\forall {\underline {\theta }}\in H$ si ha che se:

${\mathrm {E} }_{\theta }[g({\underline {X}})]=0$ implica che $g({\underline {X}})=0$ quasi certamente, ovvero $Prob_{\theta }(g({\underline {X}})=0)=1$

Esempio

Sia $X\in (0,+\infty )$ con $X\sim U(0,\theta )\quad$ la distribuzione continua uniforme e $\quad \theta \in (0,+\infty )$

Data $g$ una funzione misurabile ho che:

$E_{\theta }[g(X)]=0\quad \forall \theta \in H$ implica:

$\int _{0}^{\theta }{\frac {g(X)}{\theta }}\,dx=0$

Perciò semplificando ottengo:

$\int _{0}^{\theta }g(X)\,dx=0$

Da cui:

$\partial {\theta }\ \int _{0}^{\theta }g(X)\,dx=0$

E per il teorema fondamentale del calcolo integrale ottengo:

$g(\theta )=0\quad \forall \theta \in (0,+\infty )$

Perciò $g(X)=0$ quasi certamente

Proprietà

Data una statistica $T({\underline {X}})$ ed una biezione $\phi$ indipendente da $\theta$ allora $\phi \circ T({\underline {X}})$ è anch'essa una statistica completa per $\theta$

Famiglia esponenziale

Date variabili aleatorie $X_{1},...X_{n}$ indipendenti ed identicamente distribuite, diremo che definita $f(x,\theta )$ la funzione di densità, essa apparterrà alla famiglia esponenziale con parametro $\theta \in H$ se può essere scritta in questo modo:

$f(x,\theta )=C(\theta )e^{Q(\theta )T(x)}h(x)$

Con $C(\theta )>0\quad h(x)>0\quad$ e con supporto indipendente da $\theta$

Se vale tale proprietà allora:

$T(X)$ e $\quad \sum _{i=1}^{n}T(X_{i})$ sono variabili aleatorie complete se $H$ contiene un intervallo non degenere

Teorema di Lehmann-Scheffé

Dato un campione aleatorio $X_{1},...,X_{n}$ indipendente ed identicamente distribuito ed un parametro $\theta \in H\subset R$

Data una statistica $T(X)$ che è sufficiente e completa per $\theta \quad$ e dato uno stimatore del parametro $\theta \qquad$:

$V(T(x))$ che è non distorto $\forall \theta \in H\quad$

Allora $V(T(X))$ è l'unico stimatore non distorto a minima varianza di $\theta$

Bibliografia

• Capasso Morale, Una guida allo studio della probabilità e della statistica matematica II, ed. 2013 p. 340-347 ISBN 978-88-7488-628-9

Voci correlate

• Bias (statistica)
• Consistenza (statistica)
• Efficienza (statistica)
• Sufficienza (statistica)
• Stimatore
• Teorema di Rao-Blackwell