Condizione di Palais-Smale

In matematica, la condizione di Palais-Smale o condizione di compattezza di Palais-Smale è un'ipotesi utilizzata in molti teoremi di calcolo delle variazioni, utile per garantire l'esistenza di punti critici di certi funzionali. Prende il nome da Richard Palais e Stephen Smale.

Formulazione forte

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Un funzionale continuo Fréchet differenziabile   da uno spazio di Hilbert   ai reali soddisfa la condizione di Palais-Smale se ogni successione   tale che   è limitato e   in   (spazio duale di  ) ammette una sottosuccessione convergente.

Formulazione debole

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Sia   uno spazio di Banach e sia   un funzionale Gâteaux differenziabile. Allora   soddisfa la condizione debole di Palais-Smale se per ogni successione   tale che:

  •  
  •   in  
  •   per tutti gli  

esiste un punto critico   di   tale che i limiti superiore ed inferiore di   soddisfano:

 

Bibliografia

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Voci correlate

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