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Contrazione delle lunghezze

In fisica la contrazione delle lunghezze, prevista dalla teoria della relatività ristretta, è la riduzione della misura della dimensione di un oggetto nella direzione del moto quando esso è in moto rettilineo uniforme rispetto all'osservatore. La contrazione, chiamata anche contrazione di Lorentz-FitzGerald perché ipotizzata per la prima volta, se pur con significato diverso, dai due studiosi, diventa significativa a velocità paragonabili a quella della luce.

contrazione delle lunghezze

Indice

StoriaModifica

La prima idea di contrazione delle lunghezze fu la contrazione di Lorentz-FitzGerald, proposta da George Francis FitzGerald e indipendentemente approfondita ed estesa da Hendrik Lorentz per spiegare il risultato negativo dell'esperimento di Michelson-Morley, che tentava di riconoscere il moto relativo della Terra rispetto all'etere.

Dopo aver letto un articolo di Oliver Heaviside, che mostrava che i campi elettrico e magnetico erano deformati dal moto, FitzGerald dedusse che similmente, quando un corpo si muove attraverso lo spazio, subisce una deformazione causata dal movimento e che questo può spiegare il risultato nullo dell'esperimento. FitzGerald suggerì la contrazione in una lettera del 1889 a Science che rimase inosservata finché nel 1892 Lorentz sostenne che un simile effetto potesse essere previsto basandosi sulla teoria elettromagnetica e sulla teoria elettronica della materia. Lorentz asserì che quando un corpo si muove attraverso lo spazio la sua dimensione parallela alla traiettoria si riduce di una quantità dipendente dalla velocità: se la velocità del corpo è   e la velocità della luce è  , la contrazione è nella proporzione

 

Per la Terra che si muove a circa 30 km/s, la contrazione risulterebbe essere circa di una parte su 200.000.000, che si traduce in circa 6 cm sul diametro del pianeta. Questo piccolo cambiamento poteva dare ragione del risultato negativo dell'esperimento di Michelson e Morley, comportando che la sorgente della luce e lo specchio siano più vicini quando sono disposti lungo la direzione del moto della Terra.

La contrazione, con un fondamento teorico rigoroso e del tutto diverso, entrò successivamente a far parte della relatività distretta, come conseguenza del secondo postulato della teoria che stabilisce la costanza della velocità della luce.

DescrizioneModifica

La formula della misura della lunghezza di un oggetto in moto rispetto ad un osservatore è:

 

dove

  è la lunghezza propria (la lunghezza dell'oggetto osservato nel suo sistema di riferimento),
  è la lunghezza misurata dall'osservatore in moto relativo rispetto all'oggetto,
  è la velocità relativa tra l'osservatore e l'oggetto
  è la velocità della luce.

e il fattore di Lorentz è definito come

 .

Notare che   è sempre maggiore, o tutt'al più uguale ad 1, e che quest'equazione assume che l'oggetto sia parallelo alla direzione del moto. Notare anche che per l'osservatore in moto relativo, la lunghezza dell'oggetto è calcolata sottraendo le distanze di entrambe le estremità dell'oggetto misurate simultaneamente. Per conversioni più generali vedi trasformazioni di Lorentz.

Un osservatore a riposo che guarda un oggetto che si sposta alla velocità della luce dovrebbe osservare che la lunghezza dell'oggetto nella direzione del moto è zero. In aggiunta ad altre ragioni, ciò suggerisce che un oggetto dotato di massa non può viaggiare alla velocità della luce.

Prove della contrazione delle lunghezzeModifica

Anche se la contrazione delle lunghezze non è mai stata osservata sperimentalmente su oggetti materiali macroscopici, fu verificata per la prima volta attraverso il celebre esperimento di Bruno Rossi e David B. Hall, che si focalizza sul decadimento dei muoni atmosferici. Dal punto di vista di un sistema di riferimento solidale con la Terra (osservatore del laboratorio), i muoni nascono a circa 10-15 km di altitudine; in effetti, la teoria della Relatività speciale prevede che, per un osservatore solidale con la particella, la distanza muone-Terra sia contratta e pari a 447-671m nel momento in cui essi nascono per decadimento dei mesoni nell'alta atmosfera. L'esperimento evidenzia che la vita media di un muone in quiete vale  [1]; poiché la particella ha una velocità che è circa il 99.8% di quella della luce nel vuoto, essa percorre in media 719 m prima di decadere e dunque può essere rivelata a bassa quota, anche a livello del mare, come confermato dall'esperimento.[2][3] Si osservi che in termini classici questo non sarebbe possibile perché la distanza iniziale particella-Terra dovrebbe essere di alcuni chilometri.

DerivazioneModifica

La contrazione della lunghezza può essere ricavata semplicemente dalle trasformazioni di Lorentz.

In un sistema di riferimento inerziale  ,   e   sono gli estremi di un oggetto di lunghezza   a riposo rispetto ad  . Le coordinate in   sono collegate a quelle in   dalle trasformazioni di Lorentz come segue:

  e  

Dato che questo oggetto si sta muovendo in  , la sua lunghezza   deve essere misurata determinando simultaneamente la posizione dei suoi estremi, perciò assumeremo  . Dato che   e  , otterremo

(1)  

Quindi la lunghezza misurata in   è data da

(2)  

In accordo con il secondo il principio di relatività, oggetti che sono a riposo in   dovranno accorciarsi per  . In questo caso la trasformazione di Lorentz sarà la seguente:

      e     

Per il requisito di simultaneità   e ponendo   e  , otteniamo dunque:

(3)  

Quindi la lunghezza misurata da   è data da:

(4)  

Dunque la (1) e la (3) forniscono la lunghezza propria quando è nota la lunghezza contratta, mentre le (2) e (4) forniscono quella contratta quando è nota la lunghezza propria.

Per capire meglio quanto avviene è opportuno usare il formalismo matriciale: nel sistema   in cui l'oggetto è a riposo, possiamo misurare la sua lunghezza misurando la distanza spaziale di due eventi nello spazio tempo che identificano le posizioni degli estremi dell'oggetto:

 

Poiché l'oggetto è a riposo in questo sistema di riferimento, possiamo anche considerare gli eventi   e   misurati in tempi diversi (in questo sistema la posizione dell'oggetto non dipende dal tempo). La stessa cosa non vale per il sistema  , in cui l'oggetto si sta muovendo con velocità  . In   occorre che gli eventi   e   siano simultanei per ottenere una corretta misura della lunghezza:

 

La matrice   rappresenta il cambiamento di sistema di riferimento (matrice di Lorentz):

 

Eseguendo il prodotto righe per colonne calcoliamo gli eventi nel sistema di riferimento nuovo   in cui l'oggetto è in moto:

 

Poiché i due eventi devono essere simultanei dobbiamo imporre che la componente temporale di   sia nulla:

 

 

Sostituendo nella quarta componente di   otteniamo:

 

A questo punto possiamo calcolare la distanza tra le componenti spaziali dei due eventi   e  :

 

In questo modo abbiamo ottenuto il risultato corretto. Bisogna prestare particolare attenzione quando si calcola la contrazione delle lunghezze in relatività ristretta, poiché si deve tener conto del fatto che eventi che sono simultanei in un sistema di riferimento, non è detto che rimangano tali in un altro.

NoteModifica

  1. ^ B. Rossi, D. B. Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum, Physical Review, vol. 59, no 3, 1 february 1941, p. 228, DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRev.59.223
  2. ^ B. Rossi, D. B. Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum, Physical Review, vol. 59, no 3, 1 february 1941, p. 227, DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRev.59.223
  3. ^ Focardi, Sergio., Fisica generale : meccanica e termodinamica, 2. ed, CEA, 2014, p. 650-651, ISBN 9788808182159, OCLC 883543794.

BibliografiaModifica

  • V. Barone, Relatività. Principi e applicazioni, Bollati Boringhieri, ISBN 9788833957579
  • S. Focardi, I. Massa, A.Uguzzoni, M. Villa, Fisica generale - II edizione,Casa Editrice Ambrosiana, ISBN 9788808182159
  • P. Mazzoldi, M. NIgro, C. Voci, Fisica, vol.1, EdiSeS, ISBN 9788879591379
  • E. Mazur, Principles & practise of Physics, Pearson Global Edition, ISBN 9781292078861
  • B. Rossi, D. B. Hall, Variation of the Rate of Decay of Mesotrons with Momentum, Physical Review, vol. 59, no 3, 1 february 1941, DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRev.59.223
  • E. Segrè, Nuclei e particelle - seconda edizione, Zanichelli, ISBN 8808056287

Voci correlateModifica

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