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Trasformazione galileiana

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Relazioni tra le grandezze nei sistemi di riferimentoModifica

Posizione relativaModifica

La relazione fra le due misure sarà:

 

E quindi entrambi, utilizzando le proprie misure, sono in grado di calcolare che cosa ha misurato l'altro. Al limite, basta che uno dei due effettui le misure e le trasmetta all'altro per i suoi calcoli. Se gli osservatori determinano la posizione di   in tempi successivi allora sono in grado di determinare il vettore posizione di   in funzione del tempo, e quindi:

 

 

VelocitàModifica

Gli osservatori possono pure calcolare la velocità e l'accelerazione di   mentre si sposta lungo la sua traiettoria. L'osservatore   vede l'altro osservatore muoversi con velocità  , mentre   vede   muoversi con velocità  . Entrambi determinano la posizione del punto   in tempi successivi   e  .

Gli spostamenti misurati dai due osservatori nel medesimo intervallo di tempo sono diversi, quindi anche le velocità di   risultano diverse tuttavia i due osservatori possono convertire nel proprio sistema di riferimento le velocità misurate dall'altro osservatore, a patto di conoscere la velocità con la quale questo si muove.

In pratica si verifica la relazione:

 

Tutto questo funziona soltanto se è possibile effettuare misure contemporanee.

AccelerazioneModifica

Se i due osservatori sono in moto rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro si avrà:

 

se, invece, si trovano in moto accelerato l'uno rispetto all'altro, le accelerazioni viste dai due sono allora diverse il che richiede una formula di conversione.

 

TrasformazioniModifica

Esempio di moto unidirezionaleModifica

Consideriamo due osservatori nello spazio tridimensionale in moto relativo rettilineo uniforme uno rispetto all'altro, disposti sul piano in maniera del tutto arbitraria. Pertanto, conviene allineare gli osservatori facendo coincidere i piani definiti dai loro assi   e   ed allineando gli assi   nella direzione del moto. Questo è possibile perché lo spazio euclideo è omogeneo e isotropo quindi consente traslazioni lungo i tre assi e rotazioni sui tre piani coordinati.

Si vede immediatamente che le trasformazioni per passare da un osservatore all'altro, rispettivamente per il primo e il secondo, sono:

 

dette trasformazioni galileiane. In pratica su una dimensione si aggiunge il moto uniforme.

Si possono scrivere anche come prodotto di una matrice per un vettore in quanto sistemi di equazioni lineari:

 

Ciò conferma che le trasformazioni galileiane sono delle simmetrie di traslazione nello spazio.

Trasformazioni per un moto genericoModifica

Nello spazio euclideo, nel caso di moto generico nelle tre dimensioni spaziali, descritto usando il sistema di riferimento cartesiano, le trasformazioni di Galileo sono:

 

dove   è la velocità a cui trasla un sistema di riferimento rispetto all'altro.

Riscrivendo il sistema lineare in forma matriciale si ha:

 

Voci correlateModifica

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