Apri il menu principale

In fisica, il moto rettilineo è un tipo di moto in cui il corpo (approssimato da un punto materiale) può muoversi esclusivamente lungo una retta: un esempio intuitivo è quello di un'automobile che viaggia lungo una strada dritta, ossia un moto la cui direzione coincide costantemente con la retta sulla quale il corpo si sposta. Esistono due tipi di moto rettilineo: il moto rettilineo uniforme e il moto rettilineo uniformemente vario (o accelerato).

In generale l'insieme delle posizioni che il corpo può assumere nello spazio (tridimensionale euclideo) se si muove di moto rettilineo è dato, vettorialmente, da:

dove è il versore che identifica la direzione lungo cui si muove il corpo. Nella pratica raramente si usa questa relazione perché con un semplice cambio di sistema di riferimento (una traslazione e una rotazione degli assi) è possibile far coincidere con uno dei nuovi assi (per esempio l'asse x): la posizione del corpo sarà quindi identificata univocamente dalla coordinata relativa a questo asse, cioè da un numero. Così facendo la legge oraria è una funzione scalare, come di seguito, facendo coincidere il versore con il versore dell'asse x:

con:

(legge oraria)

In queste ultime formule è racchiusa tutta la caratterizzazione del moto: conoscendo il numero x(t) in ogni istante so dove si trova il corpo, la cui posizione è data dal vettore .

I più importanti sottocasi del moto rettilineo sono il moto rettilineo uniforme e il moto rettilineo uniformemente accelerato.

Indice

Moto rettilineo uniformeModifica

Un corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se mantiene una velocità costante in modulo, direzione e verso. Più in generale si dice che il corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se nel percorrere una traiettoria rettilinea copre spazi uguali in tempi uguali, comunque siano piccoli . Siano:

  •   lo spazio;
  •   la velocità;
  •   il tempo,

ed indicando con   una variazione, si ha:[1]

 

Esplicitando la velocità, otteniamo l'espressione classica:

 

Nel SI la velocità si misura in  , ovvero metri al secondo.

Espressione in termini differenzialiModifica

Considerando gli intervalli di variazione infinitesimi (ovvero in termini differenziali), si ottiene:

 

Integrando a primo e secondo membro:

 

da cui:[2]

 

dove:

  •   è l'istante iniziale;
  •   è lo spazio rispetto a un punto di riferimento all'istante iniziale  ;
  •   è l'istante in cui si osserva il fenomeno.

Quest'ultima relazione è nota come legge oraria del moto rettilineo ed uniforme; essa infatti esplicita la posizione del corpo in ogni istante.

Rappresentazione geometricaModifica

  • Se la velocità è costante nel tempo, allora il diagramma cartesiano velocità/tempo sarà una retta parallela all'asse delle ascisse.
  • Lo spazio invece, dalla definizione discendente dalla legge oraria, altro non è che una retta. Il diagramma cartesiano spazio/tempo è allora una retta che taglia le ordinate in   ed avente coefficiente angolare pari alla velocità.

Lo spazio (se il moto è rappresentato graficamente) equivale all'area del rettangolo avente come base il tempo e come altezza la velocità quindi possiamo affermare che s = v × t Il movimento con velocità costante si chiama Moto Rettilineo Uniforme e viene abbreviato in modo sintetico come MRU

Moto rettilineo uniformemente acceleratoModifica

 
La legge oraria del moto nel grafico t vs. x ha la rappresentazione grafica di una funzione di secondo grado, la velocità ha la rappresentazione grafica di una retta passante per l'origine mentre l'accelerazione è una retta parallela all'asse temporale in quanto è costante.

In cinematica il moto uniformemente accelerato è il moto di un punto sottoposto ad un'accelerazione costante in modulo, direzione e verso. Ne risulta che la variazione di velocità del punto è direttamente proporzionale al tempo in cui essa avviene.

Si ha quindi:[1]

 

dove   è la velocità,   l'accelerazione,   il tempo e   le variazioni finite di tempo e di velocità.

Espressione in termini differenzialiModifica

Qualora si consideri infinitesimo l'intervallo di tempo, la relazione diventa:

 

Integrando tra due istanti di tempo generici:

 

dove è sempre possibile scegliere   e dove  

Essendo l'accelerazione costante, si ottiene:[3]

 

dove:

  •   è la velocità iniziale
  •   è la velocità all'istante t.

Essendo:

 

Sostituendo la relazione appena trovata nell'ultima relazione ottenuta ed integrando:

 

Da cui:[3]

 

dove:

  •   è la posizione all'istante t;
  •   è la posizione iniziale (t = 0);
  •   la velocità iniziale.

OsservazioneModifica

La notazione vettoriale è dovuta al fatto che il moto si può svolgere su un piano o nello spazio e i vettori sono sempre riferiti ad un sistema di riferimento generico. Con un'opportuna scelta del sistema di riferimento ci si può sempre ricondurre al moto del punto in un piano e anche al moto unidimensionale quando velocità iniziale ed accelerazione hanno la stessa direzione. In quest'ultimo caso la notazione vettoriale è superflua e le equazioni caratteristiche del moto si possono scrivere supponendo che il moto si svolga sull'asse x (rettilineo), quindi:

 
 
 

inoltre partendo dalla formula

 

ed esplicitando il tempo si ottiene

 

ricordando che

 

e sostituendo con il termine   appena trovato otteniamo

 

moltiplicando per   ed esplicitando il polinomio   si ottiene

 

semplificando si ottiene infine la relazione

 

OsservazioneModifica

Se è nota la legge oraria (generica)   di un punto materiale lungo un traiettoria rettilinea, si può effettuare la seguente approssimazione di natura analitica in un intorno di   assegnato:  .

Usando la serie di Taylor, arrestata al secondo ordine, si possono determinare la velocità  e l'accelerazione  del punto materiale all'istante   e per istanti di tempo appartenenti ad un intorno circolare   di   molto piccolo, tale che  , in modo approssimativo.

L'approssimazione ha carattere del tutto generale, dal momento che si può pensare a moti su traiettorie rettilinee con velocità e accelerazione variabili nel tempo: nei casi più semplici, in cui l'accelerazione è costante per tutta la durata del moto, il termine   è una costante (moto rettilineo uniformemente accelerato), mentre  definisce la velocità istantanea in  : posto che  , allora  .

Moto uniformemente accelerato in relatività specialeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: relatività ristretta.

Anche in relatività ristretta è possibile considerare dei moti rettilinei. Il moto è rettilineo uniforme se la quadrivelocità (e quindi le sue componenti spaziali) è costante.

È molto istruttivo considerare il moto di una particella dotata di accelerazione costante (in un dato sistema di riferimento), come accade con buona approssimazione a particelle cariche in acceleratori lineari. Possiamo orientare l'asse x lungo la direzione del moto: la legge del moto è data da[4][5]:

 

dove   e c è la velocità della luce nel vuoto. Mettendoci nel caso in cui la particella sia inizialmente ferma nell'origine del sistema di riferimento otteniamo integrando una prima volta:

 

Osserviamo che la velocità è sempre inferiore alla velocità della luce c, come previsto: infatti una delle conseguenze fondamentali della relatività ristretta è che nessun corpo possa raggiungere la velocità della luce se non in un tempo infinito. Integrando una seconda volta:

 

La legge oraria si può scrivere anche come:

 

che è una iperbole nel piano xt: l'asintoto si ricava "brutalmente" per grandi t dalla legge oraria ed è dato da

 

cioè il corpo tende a muoversi di moto rettilineo uniforme alla velocità della luce. Come già detto, in realtà il corpo non raggiungerà mai la velocità della luce ma si avvicinerà arbitrariamente ad essa col passare del tempo. Un'altra interessante considerazione riguarda il limite di bassa velocità, che è dato da:

 

cioè per velocità non troppo elevate (   ) l'accelerazione è praticamente uguale a quella Newtoniana.

Note storicheModifica

Sebbene oggi sia noto che un oggetto non sottoposto a forze si muove in moto rettilineo uniforme, in passato si credeva invece che il moto di un oggetto lasciato libero di muoversi fosse descritto da un moto decelerato (teoria aristotelica). Questo è infatti ciò che suggerisce l'esperienza quotidiana. Ma prima Galileo Galilei e poi Newton scoprirono che le cose stavano diversamente. I principi della dinamica furono scoperti da Galileo Galilei e dimostrati nel trattato Due nuove scienze del 1638 (giornate 1 e 2) e successivamente da Newton nei Philosophiae Naturalis Principia Mathematica del 1687. Nella fisica moderna si affermò il fatto che ogni accelerazione (e quindi decelerazione) è dovuta ad una forza esercitata sul corpo, ci si convinse che il moto "naturale" di un corpo è il moto rettilineo uniforme e che la decelerazione osservata nelle esperienze quotidiane è dovuta invece alla forza d'attrito a cui ogni oggetto è sottoposto se il moto avviene a contatto con altra materia.

Con l'introduzione della teoria della relatività generale, nella prima metà del XX secolo, si è capito che le traiettorie "naturali" seguite da un corpo non sottoposto a forze esterne non sono sempre delle rette, ma in effetti geodetiche dello spazio-tempo; da questo punto di vista la forza di gravità non è altro che una forza apparente dovuta alla curvatura dello spazio-tempo. Un corpo non sottoposto a forze si muove lungo una retta solo su piccole distanze, così da poter considerare praticamente costante il campo gravitazionale e nulla la curvatura dello spazio-tempo.[6]

NoteModifica

  1. ^ a b Nicola Santoro, La cinematica in breve
  2. ^ Mazzoldi, p. 9
  3. ^ a b Mazzoldi, p. 12
  4. ^ Goldstein, op.cit., pagg. 301-302.
  5. ^ Si può ricavare l'equazioni del moto dalla lagrangiana   oppure direttamente dalla versione relativistica di   con   e   massa a riposo della particella.
  6. ^ Einstein, op.cit., pag. 157.

BibliografiaModifica

  • Paul A. Tipler, Invito alla Fisica 1, 1ª ed., Zanichelli, 1990, ISBN 88-08-07568-0.
  • C. Mencuccini e V. Silvestrini, Fisica I (Meccanica e Termodinamica), 3ª ed., Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0.
  • Herbert Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, 2005, ISBN 88-08-23400-2.
  • Albert Einstein, Come io vedo il mondo. La teoria della relatività, 12ª ed., Bologna, Newton Compton Editore, giugno 2005, ISBN 88-7983-205-0.
  • Galileo Galilei, Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a DUE NUOVE SCIENZE attinenti la meccanica e i movimenti locali (pag.664, edizione critica a cura di Tarek Ghrieb, annotata e commentata), edizioni Cierre, Simeoni Arti Grafiche, Verona, 2011, ISBN 9788895351049.
  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro, Cesare Voci, Fisica, vol. 1, 2ª ed., Edises, 2000, ISBN 88-7959-137-1.

Collegamenti esterniModifica

  Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di meccanica