Costante di Gauss

costante matematica
Costante di Gauss
Simbolo G
Valore 0,8346268416740731862814297327990468...
(sequenza A014549 dell'OEIS)
Origine del nome Carl Friedrich Gauss
Frazione continua [0; 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]
(sequenza A053002 dell'OEIS)
Insieme numeri trascendenti

In matematica, la costante di Gauss, indicata con la lettera , è definita come il reciproco della media aritmetico-geometrica tra 1 e :

La costante prende il nome dal matematico tedesco Carl Friedrich Gauss, il quale il 30 maggio 1799 scoprì che:

e quindi:

dove indica la funzione beta di Eulero.

La costante di Gauss non deve essere confusa con la costante gravitazionale di Gauss.

Relazioni con altre costanti modifica

La costante di Gauss può essere usata per esprimere la funzione gamma per 1/4:

 

e, dato che   e   sono algebricamente indipendenti, con   irrazionale, la costante di Gauss è necessariamente un numero trascendente.

Costanti delle lemniscate modifica

La costante di Gauss può essere ustata per definire le costanti delle lemniscate, la prima delle quali è:

 

e la seconda:

 

che compaiono nella ricerca della lunghezza d'arco di una lemniscata.

Altre formule modifica

La seguente è una formula che esprime   in relazione alla funzione theta di Jacobi:

 

così come la seguente serie, rapidamente convergente:

 

La costante può anche essere espressa come prodotto infinito:

 

La costante di Gauss ha come frazione continua  [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...].

Collegamenti esterni modifica

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