Indipendenza algebrica

In algebra astratta, un sottoinsieme di un campo si dice algebricamente indipendente su un sottocampo se gli elementi di non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in .

Questo significa che per ogni sequenza finita di elementi distinti di e per ogni espressione polinomiale a coefficienti in , si ha: .

In particolare, un unico elemento è algebricamente indipendente su se e solo se è trascendente in . In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su sono necessariamente trascendenti su stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente.

Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali non è algebricamente indipendente sull'insieme dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale vale zero se si scelgono e .

Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su .

Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di su .

Data un'estensione di campi , si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di algebricamente indipendente su . Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione.

BibliografiaModifica

  • Yu. V. Nesterenko, Algebraic independence of π and eπ, Number Theory and its Applications, Proc. 1996 Ankara conf., ed. C. Y. Yildirim and S. A. Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k:11113

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