Indipendenza algebrica

In algebra astratta, un sottoinsieme $S$ di un campo $L$ si dice algebricamente indipendente su un sottocampo $K$ se gli elementi di $S$ non soddisfano nessuna equazione polinomiale non banale a coefficienti in $K$.

Questo significa che per ogni sequenza finita $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ di elementi distinti di $S$ e per ogni espressione polinomiale $P(x_{1},...,x_{n})$ a coefficienti in $K$, si ha: $P(\alpha _{1},...,\alpha _{n})\neq 0$.

In particolare, un unico elemento $\alpha$ è algebricamente indipendente su $K$ se e solo se è trascendente in $K$. In generale, tutti gli elementi di un insieme algebricamente indipendente su $K$ sono necessariamente trascendenti su $K$ stesso anche se questa non è affatto condizione sufficiente.

Per esempio: il sottoinsieme dei numeri reali $\{{\sqrt {\pi }},2\pi +1\}$ non è algebricamente indipendente sull'insieme $\mathbb {Q}$ dei razionali dal momento che l'espressione polinomiale $P(x_{1},x_{2})=2x_{1}^{2}-x_{2}+1$ vale zero se si scelgono $x_{1}={\sqrt {\pi }}$ e $x_{2}=2\pi +1$.

Non è noto se l'insieme {π, e} sia algebricamente indipendente su $\mathbb {Q}$.

Nel 1996 Yu Nesterenko ha dimostrato l'indipendenza algebrica di $\{\pi ,e^{\pi },\Gamma (1/4)\}$ su $\mathbb {Q}$.

Data un'estensione di campi $L/K$, si può utilizzare il lemma di Zorn per dimostrare che esiste sempre un sottosinsieme massimale di $L$ algebricamente indipendente su $K$. Inoltre tutti i sottoinsiemi algebricamente indipendenti massimali hanno la stessa cardinalità nota come grado di trascendenza dell'estensione.

Bibliografia

• Yu. V. Nesterenko, Algebraic independence of π and e^π, Number Theory and its Applications, Proc. 1996 Ankara conf., ed. C. Y. Yildirim and S. A. Stepanov, Dekker, 1999, pp. 121-149; MR 99k:11113

Voci correlate

• Estensione di campi
• Indipendenza lineare
• Indipendenza affine