Diagramma commutativo

Notazione matematica

In matematica, un diagramma commutativo è un diagramma comprendente vari oggetti e morfismi tra essi tale che, per ogni coppia di oggetti, ogni percorso che li collega produce la stessa applicazione finale (in termini di composizione di funzioni). I diagrammi commutativi giocano in teoria delle categorie il ruolo che hanno le equazioni in algebra.

Esempio

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Prendendo la definizione di prodotto tensoriale di due spazi vettoriali sintetizzata nell'immagine

 

si ha per definizione di   che  , cioè componendo l'applicazione   dopo   otteniamo esattamente  : per questo motivo tale diagramma è commutativo.

Un esempio che coinvolge più di tre oggetti, sempre riguardante il prodotto tensoriale, è il seguente:

 

Questo diagramma è commutativo poiché   e   (da cui abbiamo anche  ).

Ovviamente tale proprietà deve valere per ogni possibile "percorso" contenuto nel diagramma: se per esempio ogni funzione nel diagramma sopra ammettesse un'inversa, allora affinché tale diagramma fosse stato commutativo sarebbe dovuto valere anche  ,   e così via.

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