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In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione tra due insiemi e trasforma ogni elemento di in uno di : in presenza di un'altra funzione che trasforma ogni elemento di in un elemento di un altro insieme , si definisce la composizione di e come la funzione che trasforma ogni elemento di in uno di usando prima e poi . Il simbolo Unicode dell'operatore è (U+2218).

Indice

DefinizioneModifica

 
 , la composizione di   e  

Formalmente, date due funzioni   e   definiamo la funzione composta

 
 

applicando prima   ad   e quindi applicando   al risultato  .

Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo   sia data da una funzione   e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza   sia data da un'altra funzione  . Allora   descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo  .

Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere   invece di  .

Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di   coincida con il codominio di  . In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di   e il dominio di   abbiano un'intersezione non vuota.

ProprietàModifica

La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se  ,   e   sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora  . Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.

La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.

L'insieme delle funzioni biettive  , con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità   per ogni  ) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di  . Se l'insieme   contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.

Derivata delle funzioni composteModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Regola della catena.

La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":

 

dove le notazioni   e   indicano il medesimo significato di derivata.

La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:

 

è un vettore di   le cui componenti sono funzioni derivabili:

 

e se   è una funzione differenziabile in  , allora la funzione composta:

 

è differenziabile nella variabile   e si ha:

 

dove   è il gradiente di   e   è il prodotto scalare euclideo standard.

Infine, se   e   sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:

 

dove   è la moltiplicazione di matrici e   è la matrice jacobiana di  .

Composizioni iterateModifica

Una funzione   (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa   volte, ed il risultato, detto iterata  -esima di  , può essere scritto   quando non genera ambiguità. Ad esempio con   si denota comunemente il quadrato del seno di  , cioè  , anziché il valore in   della composizione del seno con se stesso, cioè  .

Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.

Voci correlateModifica