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Nota disambigua.svg Disambiguazione – Se stai cercando il prodotto fra due tensori definiti sullo stesso spazio vettoriale, vedi Prodotto fra tensori.

In matematica, il prodotto tensoriale, indicato con , è un concetto che generalizza la nozione di operatore bilineare e può essere applicato a molteplici oggetti matematici, ad esempio a spazi vettoriali e moduli.

Nel caso di due spazi vettoriali e sul campo , il prodotto tensoriale è ancora uno spazio vettoriale su . Si può pensare ad una applicazione bilineare

come ad un prodotto tra i vettori di e con valori in un terzo spazio vettoriale .

Dato un altro spazio ed un omomorfismo

si ha che è un prodotto su a valori in . Si può dimostrare che esiste un "prodotto universale" a valori in un certo spazio con la proprietà che tutti i possibili prodotti su si possono ottenere, in modo unico, trasformando linearmente il codominio . Se e sono rispettivamente elementi di e si denota con il prodotto di e in . Per dimostrarne l'esistenza lo si costruisce come spazio quoziente dello spazio vettoriale libero su imponendo le relazioni ovvie per far sì che la proiezione dopo l'immersione sia bilineare.

Prendendo spazi quozienti del prodotto tensoriale si possono aggiungere proprietà a . Ad esempio il prodotto universale simmetrico si ottiene imponendo la relazione

cioè prendendo il quoziente

dove è il sottospazio generato da tutti gli elementi del tipo . Il prodotto universale antisimmetrico invece si ha imponendo la relazione

Queste costruzioni sono fondamentali in svariati campi (ad esempio permettono di definire metriche e forme differenziali sugli spazi tangenti di varietà differenziabili).

Partendo con degli -moduli e (strutture che generalizzano gli spazi vettoriali prendendo gli scalari in un anello invece che in un campo), e supponendo commutativo per semplicità, si può dare la stessa definizione che per il caso degli spazi vettoriali di (anche in questo caso si può omettere il pedice a se è evidente dal contesto l'anello rispetto al quale si stanno considerando i moduli). Anche la dimostrazione dell'esistenza rimane la stessa. Nonostante le similitudini iniziali con il caso degli spazi vettoriali il prodotto tensoriale tra moduli può riservare delle sorprese. Ad esempio

se ed sono coprimi.

Indice

DefinizioneModifica

Riprendendo quanto detto nell'introduzione, si definisce prodotto tensoriale di due spazi vettoriali  ,   uno spazio   assieme ad una applicazione bilineare

 

per cui data una qualsiasi operazione   bilineare esiste un unico omomorfismo

 

che fattorizza   tramite   (vedi il primo diagramma a destra), cioè tale che

 

Un altro modo di scrivere la stessa cosa (vedi il secondo diagramma a destra) è che la coppia   è un elemento universale per il funtore   dalla categoria degli spazi vettoriali a quella degli insiemi che manda   nella famiglia delle funzioni bilineari

 

facendo corrispondere ad un omomorfismo

 

la funzione che associa ad un prodotto

 

il prodotto  . In figura

 

Si dirà anche che  , o semplicemente  , gode della proprietà universale per i prodotti tensoriali.

Se esistono due prodotti   e   che soddisfano la definizione allora esiste un unico isomorfismo   tra   e   tale che   per ogni coppia  . Per la dimostrazione di questo e dell'esistenza di un prodotto tensoriale si rimanda alle relative sottosezioni.

Il codominio   contiene tutti gli elementi del tipo  , che sono immagini tramite   delle coppie  , ma l'elemento generico di   non è di questa forma, è piuttosto una somma finita di tali termini, cioè, se   è finito, sarà del tipo

 

Se   e   hanno dimensione   ed   con basi   e   rispettivamente, i vettori   per   e   formano una base di   (vedi Coordinate).

Sempre in dimensione finita, esiste un isomorfismo naturale tra lo spazio delle forme bilineari e   (vedi Proprietà), che in geometria differenziale è spesso sfruttato per definire   (e   usando l'isomorfismo canonico dei due spazi con   e   rispettivamente). Per una trattazione più completa rispetto a questo punto di vista si rimanda alla voce Tensore.

EsistenzaModifica

Si è definito il prodotto tensoriale dicendo che è una coppia con una certa proprietà. In questa sezione si dimostrerà che una tale coppia effettivamente esiste.

L'idea di base è che tra gli elementi di uno spazio vettoriale candidato a "codominio universale" per un prodotto, non deve sussistere nessuna relazione ulteriore a quelle necessarie per rendere il prodotto bilineare. Quindi si parte da uno spazio libero, senza relazioni, e poi si pone uguale ciò che si vuole sia uguale (il che significa prendere quozienti, vedi il libro di Artin Algebra capitoli sugli anelli e sui moduli).

Sia   lo spazio vettoriale libero su  . Si ricorda che   è lo spazio vettoriale che come base ha tutte le coppie  . Sia   il sottospazio generato da tutti i vettori del tipo

 
 

Mandando a zero i vettori di  , cioè passando al quoziente  , la proiezione dopo l'immersione diventa bilineare. La coppia  , dove   è la proiezione canonica ed   l'immersione di   in  , soddisfa le richieste ed è un prodotto tensoriale di   e  . La situazione può essere riassunta dal diagramma commutativo

La dimostrazione è immediata, infatti   è una base di   quindi esiste un'unica estensione lineare   di   su  , e visto che il nucleo di   contiene   (perché   è bilineare) la proprietà caratteristica della proiezione nello spazio quoziente ci dà l'unica applicazione lineare   per cui  , cioè esiste un'unica   tale che (chiamando   la funzione  )

 

UnicitàModifica

L'unicità del prodotto tensoriale, nel senso indicato sopra, è una proprietà di tutti gli elementi universali.

L'unico punto non banale della dimostrazione è notare che se   è un prodotto tensoriale, e la funzione

 

è lineare e lascia fissi tutti i vettori della forma   allora   è l'identità. L'idea è fattorizzare   tramite  . Infatti per ipotesi   è bilineare su   quindi esiste un'unica   tale che

 

e dato che l'applicazione identità soddisfa queste condizioni, deve essere

 

Ora si supponga che   e   soddisfino entrambi la proprietà universale, allora esistono

 

e

 

tali che per ogni coppia   si ha

  e  .

Sostituendo l'una nell'altra si ha

 

da cui, per quanto detto all'inizio,   è l'identità su   mentre   è l'identità su  . In altre parole   è un isomorfismo, ed è l'unico per cui valga

 

ProprietàModifica

Di seguito  ,   e   saranno spazi vettoriali su un campo  , ed  ,   e   dei loro rispettivi elementi.

  • Associatività:
     
    con
     
    L'applicazione è ben definita perché è assegnato il valore ad un insieme di generatori. Fissiamo  . Sia
     
    la funzione bilineare
     
    Se la fattorizziamo tramite il prodotto tensoriale (applichiamo la proprietà universale) abbiamo l'applicazione lineare
     
    che manda   in  . Anche la funzione
     
    che manda   in   è bilineare e fattorizzandola abbiamo l'omomorfismo voluto. Possiamo costruire in modo analogo l'inversa ottenendo l'isomorfismo.
  • Commutatività:
     
    con
     
    Per dimostrarlo è sufficiente fattorizzare tramite il prodotto tensoriale la funzione bilineare
     
    con
     
    In modo analogo possiamo ottenere l'inversa. Attenzione: questo non vuole in alcun modo suggerire che in   i due vettori   e   sono uguali, semmai è vero il contrario.
  • Distributività rispetto alla somma diretta:
     
    con
     
    Questa volta non conviene usare il tipo di dimostrazione dei casi precedenti perché non riusciremmo a costruire l'inversa. Dimostriamo allora che ogni prodotto su   si fattorizza in modo unico tramite  . L'applicazione
     
    che manda   in   è bilineare. Se   è uno spazio vettoriale e   un'applicazione bilineare da   in  , possiamo scrivere
     
    questo ci dà la fattorizzazione tramite  .
  • Tensorizzare con il campo degli scalari:
     
    con
     
    Intuitivamente è quasi ovvio, formalmente dimostriamo che   e la mappa bilineare
     
    soddisfano la proprietà universale. Se
     
    è bilineare, allora
     
    fattorizzando in modo unico   tramite  .
  •  . Segue dalle precedenti.
  •  . Segue dalle precedenti.
  • Se   e   hanno dimensione finita esiste un isomorfismo canonico
     
    che associa   a   (che calcolata nella coppia   vale  ). Infatti
     
    è bilineare, quindi possiamo fattorizzarla tramite il prodotto tensoriale per ottenere un omorfismo che è suriettivo e quindi anche iniettivo perché i due spazi hanno la stessa dimensione.

EsempiModifica

Sia   uno spazio vettoriale su un campo  

  • Tre esempi basilari per la geometria differenziale quando   è lo spazio tangente   ad un punto   di una varietà differenziale   sono:
    •   (  fattori), lo spazio dei tensori controvarianti di grado  ;
    •   spazio dei tensori covarianti di grado  ;
    •   spazio dei tensori misti di tipo  .

    Con questi si può definire il fibrato tensoriale

     

    di tipo   come l'unione disgiunta dei vari   per tutti i punti di  , cioè:

     

    assieme alla proiezione canonica   (si ricorda che se   è una famiglia di insiemi indicizzata da   la loro unione disgiunta è  ).

  • Più in generale, sia in geometria differenziale che in topologia algebrica sono ricorrenti i fibrati tensoriali, cioè fibrati vettoriali che hanno per fibra un prodotto tensoriale. In particolare, se   e   sono due fibrati vettoriali, si indica con   il fibrato tensoriale che ha come fibra il prodotto tensoriale delle fibre dei fattori e struttura di fibrato indotta nel modo ovvio.
  • In topologia algebrica, e più precisamente nella K-teoria, per studiare la struttura geometrica di uno spazio topologico   si costruisce un certo anello   partendo dall'insieme   dei fibrati vettoriali su  . Le informazioni geometriche interessanti possono essere contenute solo in fibrati non banali (cioè in fibrati che non si spezzano globalmente nel prodotto cartesiano dello spazio di base con la fibra), quindi si considerano equivalenti due fibrati vettoriali   e   quando esistono due interi  ,   tali che la somma di Whitney
     
    è isomorfa a
     
    dove
     
    è il fibrato banale su   con fibra  -dimensionale. L'insieme   modulo questa relazione di equivalenza forma un anello, indicato con  , rispetto alla somma
     
    e il prodotto
     
    dove   è la classe di equivalenza di  . Si noti che   è solo un semigruppo rispetto alla somma di Whitney.
  • In geometria differenziale, fra i vari modi di definire una connessione su un fibrato vettoriale   c'è quello di considerarla come una mappa   che ad ogni sezione di   associa una sezione del fibrato tensoriale
     
    che ha per fibra su un punto   lo spazio vettoriale  , in modo che
    • se   e   sono sezioni di   allora
       
    • se   è una sezione di   ed   una funzione liscia su   allora
       
  • Se   è un'estensione di   possiamo cambiare il campo dei coefficienti di   da   a   prendendo il prodotto tensoriale   (il   a pedice di   significa che abbiamo considerato   come spazio vettoriale su  ), che infatti è un  -spazio vettoriale in modo canonico:
     
    per ogni   e   appartenenti ad  . Nel caso particolare con   e   il processo si dice di complessificazione ed è utile per studiare la struttura degli endomorfismi di   con autovalori complessi.

CoordinateModifica

Basi e coordinateModifica

Siano   e   due spazi vettoriali con basi   e   rispettivamente.

Si consideri il prodotto tensoriale   costruito sopra. È chiaro che

 

è un insieme di generatori per  . Un qualsiasi altro prodotto   che goda della proprietà universale deve (vedi Definizione) essere isomorfo a   con   che corrisponde a  , quindi si può affermare che   genera  .

Per un generico   sia

 

e

 

Grazie alla bilinearità di   possiamo espandere   come

 

per esempio, bastano i vettori   con   e   per generare  .

Nelle proprietà si è visto che   ha dimensione  , quindi i  , che in totale sono  , formano una base.

Fissata la base  , come accade per tutti gli spazi vettoriali, ogni elemento di   è unicamente determinato dalle sue coordinate. Più esplicitamente se   appartiene a  , esiste un unico insieme di   numeri   tale che

 

Tensori covarianti, controvarianti e misti in coordinateModifica

Per alleggerire la notazione, in questa e nelle prossime due sezione si userà la convenzione di Einstein. In poche parole, quando un indice appare sia a pedice che ad apice in una formula si sottintende la sommatoria su quell'indice. Ad esempio

 

in realtà sta per

 

Come accennato negli esempi, in geometria differenziale ricorrono spesso prodotti tensoriali del tipo

 

dove   è lo spazio tangente ad un punto di una varietà differenziale e   è il suo duale. Se i fattori   sono   mentre i   sono  , i vettori di questo prodotto tensoriale si dicono tensori (misti) di tipo  .

Nel caso particolare in cui   cambiano nome in tensori controvarianti di ordine  , mentre se ci sono solo fattori   diventano i tensori covarianti di ordine  .

Si fissi una base   per   e la duale   su  , per esempio

 

dove il termine di destra è il delta di Kronecker. Un tensore   di tipo   in componenti si scrive (adottando la convenzione di Einstein)

 

con ogni   ed ogni   sommato tra   e   (la dimensione di   e  ).

Cambiamenti di base e trasformazione delle componentiModifica

Nel contesto della sezione precedente, siano   e   due basi di  , e

 

la matrice di cambiamento di base che porta le coordinate di un vettore rispetto a   a quelle rispetto a  . Si ricorda che la  -esima colonna di   è formata dalle componenti di   rispetto alla base  , cioè

 

Si fissino su   le basi   e   duali di quelle prese in  . Sia   la matrice di cambiamento di base da   a  . In questo caso, perché gli indici dei covettori sono scritti in alto, la  -esima riga di   è data dalle componenti di   rispetto a  . Per definizione il prodotto   ha in posizione   il prodotto tra la  -esima riga di   e la  -esima colona di  . Come ricordato queste sono l'espressione in componenti di   e di   rispetto a due basi una duale all'altra, quindi farne il prodotto riga per colonna equivale a calcolare

 

cioè,   è la matrice identica, e   è l'inversa di  .

Trovare le leggi secondo cui variano le componenti di un tensore di tipo   è solo questione di estendere per bilinearità un'espressione. Infatti, partendo dalle basi   e   su   e   rispettivamente, un tensore   si scrive in componenti

 

ma

 

quindi sostituendo ed espandendo si arriva a

 

o più classicamente, scrivendo solo le componenti

 

EsempiModifica

Fibrato tensoriale e sezioni in coordinate localiModifica

La definizione di fibrato tensoriale di tipo   su una varietà si trova negli esempi.

Si vedrà ora come la scelta di un sistema di coordinate locali per una varietà   di dimensione   determini una base per gli spazi tangenti ai, e quindi per le fibre nei, punti nel dominio delle coordinate locali.

Si fissi una carta  , cioè, si scelga un sistema di coordinate locali sull'aperto  . Se   è un punto di  , di solito si indica con   la  -esima coordinata di  . Tra le quattro definizioni (equivalenti) di spazio tangente ad un punto che si trovano in letteratura prendiamo quella in cui i vettori tangenti sono derivazioni. Si dimostra (vedi, ad esempio, Warner paragrafi da 1.13 a 1.19) che i vettori

 

formano una base di  . Gli indici posti, come in questo caso, all'apice di una quantità a denominatore sono da considerarsi come a pedice. La base duale in   si indica con

 

Ricapitolando, la scelta di un sistema di coordinate locali   identifica delle basi per gli spazi tangenti   ai punti   appartenenti ad  , e le corrispettive duali sugli  . Una fibra  ,   è, come segue direttamente dalla definizione, un prodotto tensoriale

 

che quindi ha come base tutti i tensori di tipo   della forma

 

Un elemento   di   si scrive in coordinate come

 

Sfruttando queste "trivializzazioni" si può indurre una struttura di varietà differenziale su   (vedi, ad esempio, Warner paragrafo 2.14).

Una funzione liscia   da   su   tale che   si dice sezione o campo tensoriale, ed equivale ad assegnare ad ogni punto   di   un elemento   della fibra   in modo che le componenti di   in un (e quindi per ogni) sistema di coordinate locali contenente   siano funzioni lisce di  . Spesso, nei libri di fisica, viene usata la parola "tensore" per indicare un campo tensoriale.

Simboli di Christoffel, notazione matriciale e curvaturaModifica

La definizione di connessione come una funzione

 

con   l'insieme delle sezioni del fibrato  , che soddisfa le due proprietà elencate sopra ha il vantaggio di avere una espressione estremamente elegante in coordinate, usando la notazione matriciale.

Sia   una carta locale di   ed   sezioni di   che formano una base in ogni punto di  . Si ha che  , con  , sono una base di   quindi   si scrive in coordinate come

 

per ogni   appartenente ad  , che d'ora in poi si darà per sottinteso e quindi si smetterà di scriverlo, e dove le   sono funzioni lisce di   chiamate simboli di Christoffel. Per rendere elegante la notazione si definiscono la matrice  , con l'indice in alto che varia sulle colonne e l'indice in basso sulle righe (mentre di solito è il contrario), a coefficienti in  

 

ed il vettore colonna   a coefficienti nelle sezioni sopra ad  . Allora

 

sono   equazioni che si sintetizzano per convenzione in

 

dove   non è un prodotto tensoriale ma sta ad indicare che si deve usare la regola di moltiplicazione riga per colonna delle matrici, solo che al posto del classico prodotto tra scalari (che in questo contesto non ha palesemente senso perché i coefficienti delle matrici coinvolte non sono scalari, quindi non c'è pericolo di confusione) si usa il prodotto tensoriale; e l'operatore   va applicato ad ogni singola componente di  . La matrice   è detta matrice di transizione.

Fissato  , le quantità   non sono dei tensori perché dipendono dalla scelta delle  . Questo significa che la geometria del fibrato vettoriale non è codificata nella matrice  . Nonostante ciò, manipolando la formula del cambiamento di coordinate di  , si vede facilmente che la matrice  , detta matrice di curvatura, si trasforma nel modo corretto, ed è proprio questa che contiene le informazioni geometriche. Nei prossimi due paragrafi saranno dati ulteriori dettagli.

Cambio di coordinateModifica
 Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice di transizione.

Sia   un vettore colonna con componenti n sezioni di   che formano una base ad ogni punto di  . Se   appartiene ad   allora esistono   scalari   tali che

 

o, posto   (come prima,   varia sulle colonne mentre l sulle righe), in notazione matriciale  . Le   sono delle funzioni di transizione per  , e per definizione di fibrato sono lisce in  . Per legare la matrice di trasferimento rispetto a  ,  , a quella rispetto a  ,  , si noti che (usando la seconda proprietà della connessione)

 

dove  , in ogni  , è la matrice inversa di   che ovviamente esiste perché   manda una base in una base, e   è la matrice che ha per componenti i differenziali delle componenti di  . Quindi il cambio di coordinate per   è dato dalla formula

 

Il primo addendo di destra è proprio il motivo per cui le componenti di   non sono tensori.

La matrice di curvaturaModifica

Per vedere che la matrice di curvatura   è invariante bastano due passaggi ulteriori. Si moltiplica a destra l'ultima equazione per  , poi si fa la derivata esterna ottenendo

 

dove   è, come nel caso di   tra due matrici, da considerasi come una moltiplicazione riga per colonna con le componenti moltiplicate tramite il prodotto esterno  . Ora si noti che

 

sostituendo nella precedente si conclude

 

cioè   è invariante.

Usando   si può definire il più classico tensore di Riemann  .

Definizione classica di tensoreModifica

La definizione universale del prodotto tensoriale è abbastanza recente. I tensori sono nati nel contesto della geometria differenziale e della rappresentazione dei gruppi come insiemi di numeri che al cambio di base si trasformano secondo la legge

 

Questa definizione è tutt'oggi la più usata nei corsi e nei testi di fisica introduttivi sulla relatività generale.

Prodotto tensoriale di moduliModifica

Possiamo estendere la definizione di prodotto tensoriale anche ai moduli. Se   è un anello commutativo la costruzione per due  -moduli  ,   è praticamente identica a quella per gli spazi vettoriali. Se invece   non è commutativo ma   (rispettivamente.  ) è un  -bimodulo (rispettivamente  ) allora si può aggiustare la costruzione ed il prodotto tensoriale risulta essere un  -modulo destro (rispettivamente sinistro). In generale quando   non è commutativo ed  ,   sono due  -moduli possiamo pretendere solamente la struttura di gruppo abeliano su  .

Può accadere che ci siano dei collassamenti nel prodotto tensoriale fra moduli. Prendiamo ad esempio   e   come  -moduli con  ,   coprimi. Visto che possiamo scrivere l'unità come combinazione lineare di   ed  

 

abbiamo

 

e siccome   è generato dagli elementi   concludiamo che

 

Prodotto tensoriale di spazi di HilbertModifica

Il prodotto tensoriale di due spazi di Hilbert è un altro spazio di Hilbert, che è definito come descritto di seguito.

DefinizioneModifica

Siano   e   due spazi di Hilbert con prodotti interni   e   rispettivamente. Si costruisca il prodotto tensoriale   di spazi vettoriali come spiegato sopra. Si può dotare questo prodotto tensore di spazi vettoriali di un prodotto interno definendo

 

dove

 

mentre

 

ed estenderlo per linearità. Infine, si prenda il completamento rispetto a questo prodotto interno. Il risultato è il prodotto tensore di  e   come spazi di Hilbert.

ProprietàModifica

Se   e   hanno come base ortonormale   e  , rispettivamente, allora   è una base ortonormale per  .

Esempi ed applicazioniModifica

I seguenti esempi mostrano come i prodotti tensori emergano naturalmente.

Assegnati due spazi di misura   e  , con misure   e   rispettivamente, si può studiare lo spazio Lp chiamato  , lo spazio delle funzioni su   che sono a quadrato sommabili rispetto alla misura prodotto  . Se   e   sono funzioni a quadrato sommabili su   ed   rispettivamente, si può definire una funzione   su   ponendo  . La definizione della misura prodotto assicura che tutte le funzioni con questa forma sono a quadrato sommabili, cosicché   definisce una mappa bilineare  .

Anche le combinazioni lineari di funzioni della forma   appartengono a  . Risulta infatti che l'insieme delle combinazioni lineari è denso in  , se   e   sono separabili. Questo mostra che   è isomorfo a  , e spiega perché si debba prendere il completamento nella costruzione del prodotto tensore fra spazi di Hilbert.

Analogamente, si può mostrare che  , lo spazio delle funzioni a quadrato sommabili  , è isomorfo a   se lo spazio è separabile. L'isomorfismo manda   in  . Possiamo combinare ciò con il precedente esempio e concludere che   e   sono entrambi isomorfi a  .

Il prodotto tensore di spazi di Hilbert ricorre nella meccanica quantistica. Se una particella è descritta dallo spazio di Hilbert  , ed un'altra particella da  , allora il sistema composto dalle due particelle è descritto dal prodotto di   e  . Per esempio, lo spazio necessario a descrivere un oscillatore armonico quantistico è  , e per descrivere due oscillattori armonici si userà  , che è isomorfo a  . Quindi il sistema a due particelle è associato ad una funzione d'onda della forma  . Un esempio più generale è fornito dagli spazi di Fock, che descrivono un sistema con un numero variabile di particelle.

Prodotto tensore ed entanglementModifica

Come detto sopra, uno degli assiomi della meccanica quantistica moderna è che se due sistemi sono descritti dagli spazi di Hilbert   e   allora il sistema complessivo è descritto dal prodotto tensore  . Una conseguenza diretta di questo assioma è il fenomeno dell'entanglement : l'esistenza di stati del sistema complessivo che non sono direttamente interpretabili a partire dagli stati delle sue componenti   e  .

Per essere più precisi, supponiamo che i sistemi rappresentati da   e   siano qubit, e quindi che   (ma la situazione si generalizza immediatamente a qualsiasi dimensione finita). Scegliamo una base in   ed una in  , indicandole con  , allora il generico vettore nel prodotto tensore si scrive come   dove   per  .

Come si vede il generico vettore è allora sovrapposizione di vettori fattorizzabili, ossia corrispondenti ad un elemento in  . A prima vista, questo, potrebbe sembrare la manifestazione dell'entanglement, ma non è così: si tratta semplicemente della conseguenza dell'assioma della meccanica quantistica che impone di usare gli spazi di Hilbert per rappresentare gli stati di un sistema.

Il fenomeno dell'entanglement è qualcosa di diverso: per il generico vettore   non è detto che esista un vettore   in   ed uno   in   che fattorizzano  , ossia per i quali valga  .

Bisogna fare attenzione al fatto che un vettore potrebbe non sembrare fattorizzato per una certa scelta di basi in   e  , ma esserlo per un'altra scelta di basi.

In genere, se nessuno dei due spazi ha dimensione  , esistono vettori non fattorizzabili per alcuna base e questi vengono chiamati stati entangled.

Linguaggi di programmazione vettorialiModifica

I linguaggi di programmazione possono avere questa applicazione predefinita. Ad esempio, in APL il prodotto tensore è espresso come  :

  oppure  .

In J il prodotto tensore è la forma diadica  ; per esempio

  oppure  .

Si noti che il trattamento con J permette la rappresentazione di alcuni campi tensoriali (così   e   possono essere funzioni invece che costanti—il risultato è allora una funzione derivata, e se   e   sono differenziabili allora anche   è differenziabile).

Comunque questo tipo di notazione non è universalmente presente nei linguaggi per la manipolazione di vettori. Alcuni linguaggi richiedono l'esplicito trattamento degli indici (per esempio, MATLAB) e possono supportare o meno funzioni di ordine più elevato come lo jacobiano (per esempio, Fortran/APL).

BibliografiaModifica

Per un punto di vista algebrico:

In relazione a geometria e topologia differenziali (alcuni di questi testi, più orientati alla geometria, presentano il prodotto tensoriale solo con le forme multilineari):

  • (EN) John Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Springer, 2002, ISBN 0-387-95448-1.
  • (EN) Frank Warner, Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer, 1983, ISBN 0-387-90894-3.
  • (EN) Michael Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, Publish or Perish, Inc., 2005, ISBN 0-914098-70-5.
  • (EN) Klaus Jänich, Vector Analysis, Springer, 2001, ISBN 0-387-98649-9.
  • (EN) C. T. J. Dodson, Tim Poston, Tensor Geometry. The Geometric Viewpoint and its Use, Springer, 1991, ISBN 3-540-52018-X.
  • (EN) Shiing-shen Chern, W. H. Chern; K. S. Lam, Differential Geometry, World Scientific Publishing, 2000, ISBN 981-02-4182-8.
  • (EN) Richard Bishop, Samuel Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, Dover, 1980, ISBN 0-486-64039-6.
  • (EN) James Munkres, Analysis on Manifolds, Westview Press, 1990, ISBN 0-201-31596-3.

Per vedere il prodotto tensoriale usato in altri ambiti matematici:

  • (EN) P. J. Hilton, U. Stammbach, A Course in Homological Algebra, Springer, 1997, ISBN 0-387-94823-6.
  • (EN) David Eisenbud, Commutative Algebra: with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, 1999, ISBN 0-387-94269-6.
  • (EN) Michael Atiyah, K-theory, Westview Press, 1994, ISBN 0-201-40792-2.
  • Springer Dale Husemoller, Fibre Bundles, lingua=inglese, 1993, ISBN 0-387-94087-1.

Voci correlateModifica

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