Dimostrazione della irrazionalità di π

1leftarrow blue.svg Voce principale: Pi greco.

Sono state date molte dimostrazioni dell'irrazionalità di pi greco, di queste alcune a opera di Johann Heinrich Lambert, Adrien-Marie Legendre e Niven.

Dimostrazione di Adrien-Marie Legendre (1794)Modifica

Si dimostra che   è irrazionale.

Sia   un intero positivo, definiamo   come

 

dove l'ultimo membro segue dal teorema binomiale. Poiché   è un polinomio di  -esimo grado di   sarà   per ogni   e per ogni intero   Inoltre   per ogni   poiché il minimo esponente con cui compare   in   è  

Se   si ha d'altra parte:

 

per cui per ogni   abbiamo che

 

Queste considerazioni mostrano che   per ogni   Da cui, essendo   abbiamo anche  

Supponiamo ora, per assurdo, che esistano due interi positivi   e   tali che   Definiamo   come:

 

Per quanto detto prima   e   sono interi. Inoltre, ricordando che   abbiamo:

 
 

Da questi calcoli segue che:

 

Si ha quindi:

 

Poiché per ogni   abbiamo che   otteniamo che

 

Quindi

 

D'altra parte,

 

quindi, per   sufficientemente grande,

 

Abbiamo quindi trovato che

 

Ma non esistono interi nell'intervallo  , quindi abbiamo raggiunto un assurdo. Questo mostra che   (e quindi anche  ) è irrazionale.

Voci correlateModifica

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