Apri il menu principale

Teorema binomiale

teorema di algebra
Il triangolo di Tartaglia è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali.

«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»

(Fernando Pessoa)

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza -esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:[1]

in cui il fattore rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con . Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.[2]

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, , ed :

Nel caso in cui sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita. Questa formula generalizzata, nel caso di reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

In base all'ultimo teorema di Fermat, (per ) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di un numero intero.
Per assurdo, infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per potessi raccogliere qualche intero, posto al primo membro, potrei scrivere con x, s, z interi.

EsposizioneModifica

È possibile, secondo il teorema, espandere una qualunque potenza intera di   in una sommatoria nella forma

 

dove   rappresentano i coefficienti binomiali. Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

 

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo   ad   e   a  , considerando quindi una sola variabile. In questa forma, si ha:

 

o, in maniera equivalente,

 

Prima dimostrazione (induttiva)Modifica

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

 

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione

 

sicuramente vera per  , si ha

  
 

moltiplicando la sommatoria per   si ha

 

da cui, essendo

 
 
 
 

ed inoltre

 
 

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

 

si ha che

 
 
 
 

essendo infine

 

e

 

si ha che

 

e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

 

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)Modifica

Se scriviamo   come il prodotto

 

con   fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine   è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo   volte   e   volte   dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da  .

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di   da   a  , si ha subito la tesi.

Caso di esponente generaleModifica

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per   numero naturale. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per  , nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia   dove il resto   indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

 ,

dove   è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

 .

DimostrazioneModifica

Lo sviluppo attorno all'origine della funzione   è

 

e, poiché

 
 
 

si ottiene

 

che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al  -esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine  .

NoteModifica

  1. ^ (EN) The Story of the Binomial Theorem by J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, 1949, 147–157.
  2. ^ I coefficienti binomiali e il binomio di Newton (PDF), su lsgobetti.it.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàGND (DE4703915-2 · NDL (ENJA00568502
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica