Equazione di Cesaro

L'equazione di Cesàro di una curva piana (che prende il nome da Ernesto Cesaro) è un'equazione intrinseca che esprime la curva tramite una relazione tra la sua curvatura e la sua ascissa curvilinea. Può essere formulata in maniera equivalente in funzione del raggio di curvatura e dell'ascissa curvilinea, in quanto il raggio di curvatura è l'inverso della curvatura stessa. L'equazione di Cesàro è intrinseca e dunque non dipende dalla parametrizzazione, e due curve congruenti hanno la stessa equazione di Cesàro.

Grafico di una curva la cui equazione di Cesàro è $k=s^{2}\sin(s)$

Esempi

Alcune curve facilmente esprimibili tramite la loro equazione di Cesàro sono le seguenti:

• retta: $\kappa =0$;
• circonferenza: $\kappa ={\frac {1}{r}}$, dove $r$ è il raggio;
• spirale logaritmica: $\kappa ={\frac {C}{s}}$, con $C$ constante;
• evolvente della circonferenza: $\kappa ={\frac {C}{\sqrt {s}}}$, con $C$ costante;
• clotoide: $\kappa ={\frac {s}{a}}$, con $a$ costante;
• catenaria: $\kappa ={\frac {a}{s^{2}+a^{2}}}$.

Parametrizzazioni correlate

L'equazione di Cesàro di una curva è correlata all'equazione di Whewell. Se la curva ha equazione di Whewell $\varphi =f(s)\!$ allora l'equazione di Cesàro è data da $\kappa =f\prime (s)\!$.

Bibliografia

• The Mathematics Teacher, National Council of Teachers of Mathematics, 1908, p. 402.
• Edward Kasner, The Present Problems of Geometry, Congress of Arts and Science: Universal Exposition, St. Louis, 1904, p. 574.
• J. Dennis Lawrence, A catalog of special plane curves, Dover Publications, 1972, pp. 1–5, ISBN 0-486-60288-5.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Cesaro, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Curvature Curves, su 2dcurves.com.