Clotoide

La clotoide o spirale di Cornu (dal nome del fisico francese Alfred Cornu) o spirale di Eulero è una curva la cui curvatura varia linearmente lungo la sua lunghezza, studiata per la prima volta probabilmente da Johann Bernoulli intorno al 1696. Il nome deriva da una delle mitiche Parche greche, Cloto (le altre due sono Lachesi e Atropo), che avvolgeva il filo dell'esistenza di ogni persona attorno a due fusi: la curva ricorda infatti un filo avvolto tra due fusi rappresentati dai centri delle due spirali.

Una porzione di spirale di Cornu (clotoide), ottenuta disegnando gli integrali di Fresnel (x, y) = (C(t), S(t)) per t nell'intervallo [-7,7]. Per t tendente a $\pm \infty$ la curva converge verso i due punti marcati.

Formulazione

L'equazione di Cesaro della clotoide generalizzata è espressa tipicamente nella forma

$k=-{\frac {s^{n}}{a^{n+1}}}$

dove $k$ è la curvatura, $s$ l'ascissa curvilinea, $n$ e $a$ sono una coppia di parametri. Per $n=1$ si ha la clotoide usuale, detta monoparametrica, per $n>1$ si parla di iperclotoide, mentre per $n<1$ di ipoclotoide.

Parametrizzazione

La curvatura $k_{\alpha }$ di una curva $\alpha$ con velocità unitaria è pari alla derivata dell'angolo di rotazione

$k_{\alpha }(s)={\frac {{\text{d}}\theta _{\alpha }(s)}{{\text{d}}s}}$

dove l'angolo di rotazione determinato da $\theta _{0}$ è l'unica funzione differenziabile $\theta _{\alpha }:[a,\,b]\to \mathbb {R}$ tale che

${\frac {\alpha \prime (t)}{||\alpha \prime (t)||}}=\left(\cos(\theta _{\alpha }(t)),\,\sin(\theta _{\alpha }(t))\right)$

e

$\theta _{\alpha }(t_{0})=\theta _{0}$

per una curva regolare $\alpha (t):[a,\,b]\to \mathbb {R} ^{2}$, con $\theta _{0}\in [0,\,2\pi ]$ tale che

${\frac {\alpha \prime (t_{0})}{||\alpha \prime (t_{0})||}}=\left(\cos(\theta _{0}),\,\sin(\theta _{0})\right)$

per un valore $t_{0}\in [a,\,b]$ fissato.

Partendo dall'equazione naturale della clotoide

$k=-{\frac {s^{n}}{a^{n+1}}}$

integrando si ha

$\theta (s)=-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}$

da cui, per la definizione di angolo di rotazione

$\alpha \prime (s)=\left(\cos \left(-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}\right),\,\sin \left(-{\frac {s^{n+1}}{(n+1)a^{n+1}}}\right)\right)$.

Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e un cambio di variabile per portare all'esterno il parametro a, si trova una parametrizzazione della clotoide generalizzata (al netto di possibili rototraslazioni):

$\left(x(t),\,y(t)\right)=a^{n+1}\,\left(\int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{n+1}}{n+1}}\right){\text{d}}u,\,\int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{n+1}}{n+1}}\right){\text{d}}u\right)$.

Per $n=1$ si ha la clotoide usuale, la cui parametrizzazione è espressa rispetto agli integrali di Fresnel:

$\left(x(t),\,y(t)\right)=a\,\left(\int _{0}^{t}\cos \left({\frac {u^{2}}{2}}\right){\text{d}}u,\,\int _{0}^{t}\sin \left({\frac {u^{2}}{2}}\right){\text{d}}u\right)$.

Applicazione nell'ingegneria delle infrastrutture

Esempio di transizione a raggio variabile (in rosso) da un tratto rettilineo (in blu) a un tratto a curvatura costante (in verde).

La clotoide è una curva a raggio variabile ed è usata per raccordare:

• Un rettifilo ed il successivo arco di cerchio (Clotoide di transizione);
• 2 archi di cerchio, uno interno all'altro, ma appartenenti a circonferenze non concentriche (Clotoide di continuità);
• 2 archi di cerchio, uno esterno all'altro e con concavità opposte (Clotoide di flesso).

Nell'ingegneria stradale si utilizza al fine di contenere il contraccolpo, ossia la variazione di accelerazione trasversale ed il rollio, ossia la rotazione del veicolo dovuta alla rotazione della piattaforma.

Nell'ingegneria ferroviaria, la clotoide è utilizzata per motivazioni simili. In passato era utilizzata la parabola cubica.

Bibliografia

• Johann Bernoulli, Opera, Tomus Secundus, Brussels, Culture er Civilisation, 1967.
• Renzo Caddeo e Alfred Gray, Curve e superfici, vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5.

Altri progetti

Altri progetti

• Wikimedia Commons

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Clotoide

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Clotoide, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Clotoide, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (FR) Robert Ferréol, Clotoide, in Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables.