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Una porzione di spirale di Cornu (clotoide), ottenuta disegnando gli integrali di Fresnel (xy) = (C(t), S(t)) per t nell'intervallo [-7,7]. Per t tendente a la curva converge verso i due punti marcati.

La clotoide o spirale di Cornu o spirale di Eulero è una curva la cui curvatura varia linearmente lungo la sua lunghezza, studiata per la prima volta probabilmente da Johann Bernoulli intorno al 1696.[1] Il nome deriva da una delle mitiche Parche greche, Cloto (le altre due sono Lachesi e Atropo), che avvolgeva il filo dell'esistenza di ogni persona attorno a due fusi: la curva ricorda infatti un filo avvolto tra due fusi rappresentati dai centri delle due spirali.[2]

Indice

FormulazioneModifica

L'equazione di Cesaro della clotoide generalizzata è espressa tipicamente nella forma[3]

 

dove   è la curvatura,   l'ascissa curvilinea,   e   sono una coppia di parametri. Per   si ha la clotoide usuale, detta monoparametrica, per   si parla di iperclotoide, mentre per   di ipoclotoide.

ParametrizzazioneModifica

La curvatura   di una curva   con velocità unitaria è pari alla derivata dell'angolo di rotazione

 

dove l'angolo di rotazione determinato da   è l'unica funzione differenziabile   tale che

 

e

 

per una curva regolare  , con   tale che

 

per un valore   fissato.[4]

Partendo dall'equazione naturale della clotoide

 

integrando si ha[5]

 

da cui, per la definizione di angolo di rotazione

 .

Applicando il teorema fondamentale del calcolo integrale e un cambio di variabile per portare all'esterno il parametro a, si trova una parametrizzazione della clotoide generalizzata (al netto di possibili rototraslazioni):[5]

 .

Per   si ha la clotoide usuale, la cui parametrizzazione è espressa rispetto agli integrali di Fresnel:

 .

Applicazione nell'ingegneria delle infrastruttureModifica

 
Esempio di transizione a raggio variabile (in rosso) da un tratto rettilineo (in blu) a un tratto a curvatura costante (in verde).
 Lo stesso argomento in dettaglio: Curva a raggio variabile.

La clotoide è una curva a raggio variabile ed è usata per raccordare:

  • Un rettifilo ed il successivo arco di cerchio (Clotoide di transizione);
  • 2 archi di cerchio, uno interno all'altro, ma appartenenti a circonferenze non concentriche (Clotoide di continuità);
  • 2 archi di cerchio, uno esterno all'altro e con concavità opposte (Clotoide di flesso).

Nell'ingegneria stradale si utilizza al fine di contenere il contraccolpo, ossia la variazione di accelerazione trasversale ed il rollio, ossia la rotazione del veicolo dovuta alla rotazione della piattaforma.

Nell'ingegneria ferroviaria, la clotoide è utilizzata per motivazioni simili. In passato era utilizzata la parabola cubica.

NoteModifica

  1. ^ Bernoulli, pp. 1084-1086.
  2. ^ (FR) Robert Ferréol e Jacques Mandonnet, Spirale de Cornu, su mathcurve.com (archiviato il 17 agosto 2015).
  3. ^ Caddeo & Gray, p. 145.
  4. ^ Caddeo & Gray, pp. 20-21.
  5. ^ a b Per semplicità si pongono a zero le costanti di integrazione, che in generale permettono di ruotare (nel caso di  ) o traslare (le due costanti integrando  ) la curva. L'equazione di Cesàro dalla quale parte il calcolo è infatti indipendente dalla posizione, essendo invariante per rototraslazioni della curva nel piano.

BibliografiaModifica

  • Johann Bernoulli, Opera, Tomus Secundus, Brussels, Culture er Civilisation, 1967.
  • Renzo Caddeo e Alfred Gray, Curve e superfici, vol. 1, Cagliari, CUEC, 2001, ISBN 88-8467-022-5.

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