Equazione di Darcy-Weisbach

L'equazione di Darcy-Weisbach è un'equazione importante usata in idraulica. Permette il calcolo della perdita di carico (altrimenti detta caduta di pressione) in un tubo.

L'equazione prende il nome da Henry Darcy e Julius Weisbach.

Formula generale

La forma generale della equazione di Darcy-Weisbach è la legge costitutiva per la perdita di carico in un condotto:

$\Delta P=k\cdot q$

dove:

• $k$: coefficiente di attrito fluidodinamico medio per il condotto
• $q$: pressione dinamica nel condotto.

Ovvero, cambiando variabili in quota idraulica H, e velocità di flusso q:

$\Delta H=k\cdot {\frac {u^{2}}{2g}}$

dove g rappresenta l'intensità media del campo di forze di volume (che nel caso di sole forze gravitazionali è pari all'accelerazione di gravità).

Il coefficiente (globale) di attrito $\ k$ è legato al fattore di attrito di Fanning $\ f$ (locale) dalla:

$k=f{\frac {L}{D}}$

dove:

• $L$: lunghezza del condotto.
• $D$: diametro equivalente del condotto.

Talvolta si indica il numero di Fanning $\ f$ anche con il simbolo $\lambda =4f$

Derivazione

La formula può essere ricavata attraverso il teorema di Buckingham oppure dall'integrazione delle equazioni di Navier-Stokes per condotti di sezioni circolare.

Nel primo caso si considera la perdita di carico ${\frac {\Delta p}{L}}$ dovuta a velocità, densità, viscosità dinamica, diametro del condotto, scabrezza. Ponendo la costante pari a ½ in maniera empirica e individuando il numero di Reynolds $Re$ si ottiene

${\frac {\Delta p}{L}}={\frac {1}{2}}{\frac {\rho v^{2}}{D}}Re^{x}\left({\frac {\varepsilon }{D}}\right)^{y}$

dove x e y sono parametri ignoti; la parte dipendente da $Re$ e $\varepsilon /D$ è il coefficiente di attrito $\lambda$, ottenendo l'equazione di Darcy-Weisbach nella caduta di pressione.

Nel secondo caso, l'integrazione delle equazioni di Navier-Stokes per un moto laminare in condotta porta a un'espressione della velocità dipendente dalla cadente. Se la velocità è costante ,come accade per condotte a sezione costante e fluidi incomprimibili, la cadente è $j={\frac {\Delta H}{L}}$ ; quindi invertendo l'espressione della velocità media si ottiene l'equazione di Darcy-Weisbach nella caduta di carico:

${\frac {\Delta H}{L}}={\frac {\lambda }{D}}{\frac {v^{2}}{2g}}$

attraverso opportune formule (come l'equazione di Colebrook) per il calcolo di $\lambda$ si può estendere quanto ricavato a moti turbolenti. Inoltre si utilizza (per generalizzare a sezioni non circolari) il diametro equivalente $R$ al posto del diametro $D$; per sezioni circolari $D=4R$.