Equazione di Darcy-Weisbach

L'equazione di Darcy-Weisbach è un'equazione importante usata in idraulica. Permette il calcolo della perdita di carico (altrimenti detta caduta di pressione) in un tubo.

L'equazione prende il nome da Henry Darcy e Julius Weisbach.

Formula generaleModifica

La forma generale della equazione di Darcy-Weisbach è la legge costitutiva per la perdita di carico in un condotto:

 

dove:

Ovvero, cambiando variabili in quota idraulica H, e velocità di flusso q:

 

dove g rappresenta l'intensità media del campo di forze di volume (che nel caso di sole forze gravitazionali è pari all'accelerazione di gravità).

Il coefficiente (globale) di attrito   è legato al fattore di attrito di Fanning   (locale) dalla:

 

dove:

  •  : lunghezza del condotto.
  •  : diametro equivalente del condotto.

Talvolta si indica il numero di Fanning   anche con il simbolo  

DerivazioneModifica

La formula può essere ricavata attraverso il teorema di Buckingham oppure dall'integrazione delle equazioni di Navier-Stokes per condotti di sezioni circolare.

Nel primo caso si considera la perdita di carico   dovuta a velocità, densità, viscosità dinamica, diametro del condotto, scabrezza. Ponendo la costante pari a ½ in maniera empirica e individuando il numero di Reynolds   si ottiene

 

dove x e y sono parametri ignoti; la parte dipendente da   e   è il coefficiente di attrito  , ottenendo l'equazione di Darcy-Weisbach nella caduta di pressione.

Nel secondo caso, l'integrazione delle equazioni di Navier-Stokes per un moto laminare in condotta porta a un'espressione della velocità dipendente dalla cadente. Se la velocità è costante ,come accade per condotte a sezione costante e fluidi incomprimibili, la cadente è   ; quindi invertendo l'espressione della velocità media si ottiene l'equazione di Darcy-Weisbach nella caduta di carico[1]:

 

attraverso opportune formule (come l'equazione di Colebrook) per il calcolo di   si può estendere quanto ricavato a moti turbolenti. Inoltre si utilizza (per generalizzare a sezioni non circolari) il diametro equivalente  al posto del diametro  ; per sezioni circolari  .

NoteModifica

  1. ^ Enrico Marchi e Antonello Rubatta, Meccanica dei fluidi, Torino, UTET, 1999, p. 275.