Espansione diadica

L'espansione diadica di un numero reale compreso tra 0 e 1 non è altro che la sua scrittura binaria costituita dall'accostamento infinito delle sole cifre 0 e 1.

Definizioni formali

modifica

Nel seguito denoteremo con   l'intervallo unitario   e con   un suo generico punto.

Gli intervalli di   verranno presi aperti a sinistra e chiusi a destra.

Inoltre denoteremo la lunghezza di un intervallo   con  .

Espansione diadica infinita

modifica

Consideriamo un qualsiasi numero di   nella sua notazione binaria, ad esempio  , e indichiamo con  , dove  , la cifra binaria in posizione ennesima dopo il separatore della parte non intera.

Chiameremo espansione diadica infinita di   la serie:

 

che risulterà così associata alla successione binaria:

 .

Osserviamo che, ad esempio,   pertanto i numeri razionali multipli di una potenza negativa di 2 (e solo loro) in   ammettono due espansioni diadiche: una, al pari degli altri numeri reali, infinita ed una finita (per finita si intende che da una certa posizione in poi troviamo tutti zeri), che trascureremo.

Osserviamo, inoltre, che troncare un numero all'ennesima cifra dopo il separatore equivale a prendere la serie della sua espansione diadica e considerarne solo la somma parziale arrestata all'ennesimo termine.

Intervallo diadico

modifica

È intuitivo verificare che ogni   soddisfa la seguente diseguaglianza:

 

Osserviamo che, fissato  , l'insieme dei numeri   che hanno in comune con   i primi   termini dell'espansione diadica appartengono all'intervallo:

 

Chiameremo l'intervallo   intervallo diadico.

Avendo stabilito che un'espansione binaria infinita non può terminare con una sequenza di zeri, l'estremo sinistro di ogni intervallo diadico è naturalmente escluso.

Numeri normali

modifica

Consideriamo l'insieme   costituito dagli   che hanno nelle relativa espansione diadica tante cifre 0 quante cifre 1. Gli elementi di   vengono detti numeri normali.

Espansioni diadiche e probabilità

modifica

L'associazione tra una sequenza infinita di lanci di una moneta e una successione binaria è oltremodo immediata e naturale.

Tale associazione attribuisce alle espansioni diadiche e ai numeri normali un ruolo cruciale nello studio della probabilità numerabile ovvero dei fenomeni aleatori rappresentabili tramite uno spazio di probabilità numerabile.

Se  , dove gli intervalli   sono disgiunti e contenuti in  , associamo ad   la probabilità  .

  avrà senso soltanto se   è l'unione finita e disgiunta di intervalli di  .

Se   e   soddisfano tale condizione e sono tra loro disgiunti allora anche   sarà l'unione finita e disgiunta di intervalli di   e di più  

Poiché   è immediato assegnare agli intervalli diadici la misura di probabilità:  .

Osserviamo, inoltre, che:

 

A titolo di esempio riportiamo la legge debole dei grandi numeri come risultato dello studio delle espansioni diadiche:

 

Bibliografia

modifica

Voci correlate

modifica
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica