Estensione di anelli

In teoria degli anelli, una branca della matematica, un'estensione di anelli è una coppia di anelli (R, S) in cui uno è contenuto nell'altro, cioè $S\subseteq R$ . Tale situazione si indicherà con R/S e si dirà che R è un'estensione di anelli di S.^[1].

A partire da un'estensione di anelli R/S e da un sottoinsieme B di R, è possibile costruire il più piccolo sottoanello di R contenente sia S che B: tale anello si indica con S[B] e si può dimostrare che coincide con l'insieme delle possibili combinazioni di elementi di $S\cup B$ mediante le operazioni di anello (somma e prodotto) di R.

Se esiste un insieme finito $B=\{b_{1},\ldots ,b_{n}\}$ tale che $R=S[B]$ l'estensione R/S si dice finitamente generata.

Particolari tipi di estensioni di anelli sono le estensioni di campi. Si può provare che se R/K è un'estensione di anelli in cui K è un campo ed R=K[A] per qualche insieme A di elementi algebrici su K, allora anche R è un campo, precisamente il campo K(A) che si ottiene aggiungendo gli elementi di A a K, e dunque R/K è un'estensione di campi.

NoteModifica

^ Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio al quoziente, come invece si fa per la creazione ad esempio dell'anello quoziente.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

(EN) Eric W. Weisstein, Estensione di anelli, su MathWorld, Wolfram Research.

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[quoz-1] Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio al quoziente, come invece si fa per la creazione ad esempio dell'anello quoziente.

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