Teorema di Taylor

Il teorema di Taylor, in analisi matematica, è un teorema che fornisce una sequenza di approssimazioni di una funzione differenziabile attorno ad un dato punto mediante i polinomi di Taylor, i cui coefficienti dipendono solo dalle derivate della funzione nel punto.

I polinomi sono tra le funzioni più semplici da utilizzare; molte funzioni possono essere approssimate con polinomi, in modo che tale approssimazione sia "abbastanza" precisa. Il teorema di Taylor spiega in che senso si può ottenere una tale approssimazione utilizzando il polinomio di Taylor. In particolare, la formula di Taylor con il resto di Lagrange si può considerare un'estensione del Teorema di Lagrange: infatti ad una funzione differenziabile in un intervallo , e prolungabile con continuità agli estremi, si può applicare il teorema di Lagrange:

dove . Da questa si ottiene:

che è un caso particolare della formula di Taylor con il resto di Lagrange.

Formula di Taylor per funzioni di una variabileModifica

Consideriamo un intervallo   ed un punto  . Sia   derivabile   volte nell'intervallo  , con  , e supponiamo che la derivata  -esima   sia continua nel punto  . Allora, definito il polinomio di Taylor di grado   come

 

si ha che

 

ove   è un infinitesimo di ordine superiore a   cioè:

 

Il resto   si può esprimere in varie forme, che possono risultare più o meno utili a seconda della necessità.

Resto di PeanoModifica

Il resto nella forma di Peano è indicato semplicemente con la notazione di o piccolo:

 

Nel caso particolare  , la formula di Taylor con il resto di Peano diventa:

 

Essa esprime un'approssimazione della funzione  , derivabile nel punto  , mediante il polinomio di Taylor

 

Il grafico di   è la retta tangente al grafico di   nel punto di coordinate  . L'approssimazione suddetta è, in generale, migliore rispetto a quella ottenibile a partire dalla sola continuità, che si può esprimere come

 

La formula di Taylor con il resto di Peano risulta particolarmente utile nel calcolo di limiti di funzioni.

DimostrazioneModifica

Sia   derivabile   volte in  , vogliamo dimostrare che

 

Dunque abbiamo che

 

e per definizione di o-piccolo(dove usiamo la convenzione   per la "derivata di ordine zero" di  ). Questo equivale a

 

La dimostriamo per induzione. Per   la relazione è facilmente verificabile; infatti se esiste   la relazione coincide con la condizione di differenziabilità per una funzione di una variabile, ovvero:

 

Supponiamola vera per   e dimostriamola per  . Il rapporto che compare nella   si presenta nella forma indeterminata   per  ; osserviamo inoltre che sia il denominatore sia la sua derivata prima  , per   non assumono mai un valore nullo. Sono dunque soddisfatte le ipotesi per applicare il teorema di de l'Hôpital, e allora il limite nella   viene a coincidere con:

 

nel caso quest'ultimo limite esista. Nelle nostre ipotesi la funzione  , che è definita in un intorno destro di   è derivabile   volte in   e quindi, osservando che

 

per l'ipotesi induttiva applicata alla funzione   segue che il limite nella   è zero, ossia (data l'eguaglianza dei limiti per la regola di de l'Hôpital):

 

il che dimostra il passo induttivo, e con esso la tesi. Q.E.D.

Resto di LagrangeModifica

Il resto nella forma di Lagrange afferma che, se la funzione è derivabile   volte in un intorno di   (si richiede che sia derivabile almeno   volte in un intorno del tipo  , più un'altra volta in   per qualche  ) esiste   compreso tra   e   tale che

 

Questa formula permette di interpretare il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema di Lagrange.

DimostrazioneModifica

Il teorema si dimostra per induzione.

La base induttiva è fatta per  :

  vero per il teorema di Lagrange.

Il passo induttivo è fatto considerando il teorema vero per   e dimostrandolo, con questo, per  .

Ponendo

 

e

 

con   allora esiste   tale che   per il teorema di Cauchy.

Siccome

 

allora

 
 
 

Sostituendo nella formula ricavata dal teorema di Cauchy:

 

Spostando i fattori che moltiplicano gli sviluppi di Taylor si ottiene:

 

Applicando l'ipotesi induttiva su   , ovvero   , esplicitando:

 

con  

quindi sostituendo:

 

ma il termine a primo membro è proprio  , quindi semplificando al secondo membro si ottiene:

  con  . Q.E.D.

Resto di CauchyModifica

Il resto nella forma di Cauchy afferma che esiste   compreso tra   e   tale che

 

Questa forma si può generalizzare nel seguente modo: se   è una funzione continua su   e differenziabile su   con derivata non nulla, allora esiste   compreso tra   e   tale che

 

generalizzando dunque il teorema di Cauchy.

Resto integraleModifica

Il resto nella forma integrale, che al contrario dei precedenti è valido anche se   assume valori complessi, afferma che se   è assolutamente continua in  , allora

 

Questa forma mostra il teorema di Taylor come una generalizzazione del teorema fondamentale del calcolo.

Formula di Taylor per funzioni di più variabiliModifica

Per funzioni di più variabili, la scrittura completa si fa più pesante e fa uso dei multiindici. Sia   di classe   dove   è un insieme aperto. Allora in un intorno di  :

 

Formula di Taylor in due variabili di ordine 1Modifica

Sia   una funzione di classe   con   aperto di   Si vuole calcolare il polinomio di Taylor in   allora:

 

dove   e   e   indica il resto.

Come per le funzioni di una variabile, se le derivate seconde sono limitate da un numero   allora si ha:

 

Formula di Taylor in due variabili di ordine 2Modifica

 

dove  

Formula di Taylor in due variabili di ordine 3Modifica

 

dove  

Formula di Taylor in due variabili di ordine nModifica

L'ordine  -esimo può essere ricavato dalla seguente sommatoria:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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