Figura replicante

In geometria della tassellazione per figura replicante (o rettile dall'inglese rep-tile) si intende una figura autosimile, che si ripete, per la proprietà di potersi scomporre in tasselli simili all'originale.

Una selezione di replicanti, vengono mostrati rep-2, rep-3, rep-4, rep-5, rep-8, rep-9, rep-16 e rep-36. Ci sono anche 5 poligoni stellati.

Terminologia

I tasselli replicanti furono chiamati "rettili", per via di un gioco di parole in inglese, dal matematico Solomon Golomb che per primo li studiò nel 1962. Una figura replicante è chiamata rep-n se scomposta in n copie uguali. Se invece la scomposizione è con forme simili non tutte uguali allora si parla di replicazione irregolare e di irrep-n. L'ordine di una forma replicante, che si utilizzino o meno tessere uguali, è il numero più piccolo possibile di tasselli utilizzato nella scomposizione.

Poligoni

Poligoni rep-16 ricavati da ottomini

Rep-2

Gli unici poligoni riproducibili di ordine 2 conosciuti sono il triangolo rettangolo isoscele e il parallelogramma le cui misure dei lati sono nel rapporto ${\sqrt {2}}$. Le misure degli angoli interni del parallelogramma non influenzano questa proprietà. I formati della carta (A1,A2, A3, A4 ...), utilizzati comunemente dalle nostre stampanti, utilizzano questa proprietà. I fogli di dimensioni diverse sono tutti simili e quindi, per esempio, dividendo in due un foglio A3 se ne ottengono due A4.

Rep-n

Analogamente a quanto visto precedentemente, nel caso particolare n=2, dato un numero intero $n>1$ è possibile costruire un parallelogramma rep-n. E' infatti sufficiente costruire un parallelogramma con rapporto dei due lati ${\frac {a}{b}}={\sqrt {n}}$ e suddividere i suoi lati maggiori in n parti uguali e poi congiungere gli opposti punti a due a due. Gli n parallelogrammi così ottenuti avranno rapporto lati ${\frac {b}{a/n}}=n{\frac {b}{a}}={\frac {n}{\frac {a}{b}}}={\frac {n}{\sqrt {n}}}={\sqrt {n}}$ e saranno perciò simili all'originale. Un rep-n può essere frammentato all'infinito fino a formare un frattale, come per esempio il triangolo di Sierpinski

La sfinge è un tassello pentagonale replicante di ordine 4 che può presentarsi come rep-4 ma anche, frammentandosi, come rep-16, rep-64, irrep-13 etc.

Poligoni stellati

Un poligono stellato consiste in due o più poligono uniti da singoli punti.

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  Rep-4, monaco
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  rep-9, pesce
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  Rep-8, pesce

Irrep-n

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  Un irrep-5 pentagonale
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  Un irrep-10 esagonale

Frattali

Esagono, trimino, rep4, rep-16 e così via in progressione geometrica verso l'infinito

Tre figure di Golomb

Solomon Golomb ha individuato tre figure non poligonali rip-4 non costruibili in un numero finito di operazioni. Ognuna di esse è costituita da una diversa sovrapposizione di triangoli equilateri decrescenti in progressione geometrica di ragione${\frac {1}{4}}$

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Esempi

Il merletto di Koch è un esempio di replicante ordine 2, il triangolo di Sierpinski è invece di ordine 3, il tappeto di Sierpinski di ordine 8 e la spugna di Menger è un replicante di ordine 20.

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  Rep-3
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  Rep-5
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  Rep-7
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  Irrep-7, fiocco
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  Irrep-$\infty$, siamese

Bibliografia

• Figure piane che si ripetono, in Enigmi e giochi matematici, vol. 4, Firenze, Sansoni, 1977, p. 205-217, OCLC 848765241.
• (FR) Reptuile, su Dictionnaire de mathématiques récréatives, recreomath.qc.ca. URL consultato il 1º dicembre 2023.

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Collegamenti esterni

• (EN) Rep-tile, su Wolfram MathWorld, mathworld.wolfram.com. URL consultato il 1º dicembre 2023.
• (EN) Irrep-tile, su Wolfram, demonstrations.wolfram.com. URL consultato il 1º dicembre 2023.
• (EN) A.Vince, Self-Replicating Tiles and Their Boundary, su Geometric and computational geometry, researchgate.net, 1999. URL consultato il 1º dicembre 2023.