Spugna di Menger

In matematica, la spugna di Menger è un particolare frattale tridimensionale, descritto per la prima volta da Karl Menger nel 1926, mentre esplorava il concetto di dimensione topologica. Costituisce l'estensione tridimensionale dell'insieme di Cantor e del tappeto di Sierpinski.

Una approssimazione della spugna di Menger ottenuta dopo 4 iterazioni. Il blocco in rosso è simile all'intera spugna: l'autosimilarità è una proprietà tipica dei frattali.

Costruzione

La spugna di Menger può essere costruita nel modo seguente.

1. Si parte da un cubo.
2. Dividere il cubo in 27 cubi, come nel cubo di Rubik.
3. Rimuovere il cubo centrale e i 6 cubi centrali ad ogni faccia: restano così 20 cubi.
4. Ripetere i passi 1-3 su ogni nuovo cubo.

Ad ogni iterazione si ottiene un oggetto con più buchi di prima, come mostrato in figura.

La spugna di Menger è lo spazio che si ottiene come limite di queste operazioni.

Più precisamente, di ogni cubo si deve rimuovere solo la parte interna. In questo modo ogni iterazione è un insieme chiuso dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$. La spugna di Menger è l'intersezione di tutti questi insiemi.

Un modello della spugna di Menger è stato realizzato tramite approssimazioni con l'origami modulare.

Definizione formale

Da un punto di vista formale, una spugna di Menger può essere definita come segue:

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

dove M₀ è il cubo unitario e

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{e non più di una tra }}i,j,k{\mbox{ è uguale a 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.$

Proprietà

Una scultura che rappresenta la spugna di Menger

Ciascuna delle 6 facce della spugna di Menger è un tappeto di Sierpinski.

La spugna di Menger è un insieme chiuso e limitato, quindi compatto per il teorema di Heine-Borel. Contiene una quantità di punti pari alla cardinalità del continuo; nonostante ciò, ha misura di Lebesgue nulla. L'insieme di Cantor ha anch'esso queste proprietà.

A differenza dell'insieme di Cantor, che ha dimensione topologica zero, la spugna di Menger ha però dimensione topologica 1.

Nella sua costruzione del 1926, Menger mostrò che la spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione 1 è contenuto nella spugna (cioè è omeomorfo ad un suo sottoinsieme).

Come ogni frattale, la spugna ha una dimensione di Hausdorff che può non essere intera: la dimensione della spugna è $\log 20/\log 3$, approssimativamente 2,726833.

Voci correlate

• Insieme di Cantor

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Spugna di Menger, su MathWorld, Wolfram Research.
• Immagine della Spugna di Menger in origami (JPG), su giladorigami.com.