Diffeomorfismo di Anosov

In matematica, più particolarmente nel campo dei sistemi dinamici e della topologia, una mappa di Anosov su una varietà M è un tipo di mappa, da M in sé, avente delle evidenti direzioni locali di "espansione" e "contrazione". I sistemi di Anosov sono casi speciali di sistemi di tipo Assioma A.

I diffeomorfismi di Anosov furono introdotti da Dmitri Anosov, che dimostrò che il loro comportamento era, in un particolare senso, generico (quando essi esistono).

Panoramica

Si devono distinguere tre definizioni strettamente correlate:

• Se una mappa differenziabile f su M ha una struttura iperbolica sul fibrato tangente, allora è chiamata una mappa di Anosov. Esempi di questo tipo sono le mappe di Bernoulli e la mappa del gatto di Arnold.

• Se la mappa è un diffeomorfismo, allora prende il nome di Diffeomorfismo di Anosov.

• Se un flusso su una varietà suddivide il fibrato tangente in tre sottofibrati invarianti, di cui uno esponenzialmente contraente, uno esponenzialmente dilatante e un terzo che sia un sottofibrato monodimensionale non dilatante (attraversato dalla direzione del flusso), allora il flusso è detto di Anosov.

Un classico esempio di diffeomorfismo di Anosov è la mappa del gatto di Arnold.

Anosov dimostrò che il diffeomorfismo di Anosov è strutturamente stabile e forma un insieme aperto di mappe (flusso) con la topologia C¹.

Non ogni varietà ammette un diffeomorfismo di Anosov; per esempio, non ci sono diffeomorismi di questo tipo sulla sfera. I più semplici esempi di varietà compatte che li ammettono sono i tori: essi ammettono i cosiddetti diffeomorfismi lineari di Anosov che sono isomorfismi che non hanno autovalori di modulo 1. È stato dimostrato che ogni altro diffeomorfismo di Anosov su un toro è topologicamente equivalente a questi ultimi.

Un altro problema aperto è capire se ogni diffeomorfismo di Anosov sia transitivo. Tutti i diffeomorfismi di Anosov noti, lo sono. Una condizione sufficiente per la transitività è la non ricorrenza: $\Omega (f)=M$.

È noto altresì che ogni diffeomorfismo di Anosov $C^{1}$ che conserva il volume è ergodico. Anosov lo ha dimostrato nell'ipotesi $C^{2}$. È vero anche per diffeomorfismi di Anosov $C^{1+\alpha }$ che conservano il volume.

Per diffeomorfismi di Anosov $C^{2}$ transitivi $f:M\to M$ esiste un'unica misura SRB (Sinai, Ruelle e Bowen) $\mu _{f}$ supportata su $M$ tale che il suo bacino $B(\mu _{f})$ sia di pieno volume dove $B(\mu _{f})=\{x\in M:{\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}\delta _{f^{k}x}\to \mu _{f}\}.$

Flusso di Anosov su (fibrati tangenti di) superfici di Riemann

Come esempio, questa sezione sviluppa il caso del flusso di Anosov sul fibrato tangente di una superficie di Riemann a curvatura negativa. Questo flusso può essere pensato in termini di flusso sul fibrato tangente in un semispazio di Poincaré della geometria iperbolica. Le superfici di Riemann a curvatura negativa possono essere definite come modelli di Fuchs, cioè come quoziente del semipiano superiore (il sottoinsieme di $C$ tale che $Im(z)>0$) e del Gruppo di Fuchs.