Diffeomorfismo

Un diffeomorfismo è una funzione tra due varietà differenziabili con la proprietà di essere differenziabile, invertibile e di avere l'inversa differenziabile.

DefinizioneModifica

Date due varietà   e  , una mappa differenziabile   è detta diffeomorfismo se è una bigezione e se anche la sua inversa   è differenziabile. Se queste funzioni sono differenziabili per continuità   volte,   è detta un  -diffeomorfismo.

Due varietà   e   sono diffeomorfe (indicato solitamente con  ) se c'è un diffeomorfismo   da   a  . Sono  - diffeomorfe se c'è tra loro una mappa bigettiva differenziabile per continuità   volte la cui inversa è anch'essa differenziabile per continuità   volte.

Negli spazi euclideiModifica

In realtà, nel definire una varietà differenziabile, si usa il concetto di diffeomorfismo, anche se ristretto al caso di regioni di spazi euclidei. Per questo motivo è necessario, ai fini del rigore formale, avere a disposizione una definizione di diffeomorfismo tra spazi euclidei indipendente dal concetto di varietà differenziabile; dunque:

Una funzione tra due regioni (insiemi aperti e connessi) di spazi euclidei  , con   regione di   e   regione di  , è un diffeomorfismo se è differenziabile, invertibile e la sua inversa è anch'essa differenziabile.

In una variabile, un diffeomorfismo è una funzione   con differenziale   quindi invertibile con inversa   anch'essa differenziabile. Chiaramente, una volta definite le varietà differenziabili la seconda definizione diventa un caso particolare della prima.

Diffeomorfismi e omeomorfismiModifica

Di fatto i diffeomorfismi giocano in geometria differenziale lo stesso ruolo degli omeomorfismi in topologia.

È abbastanza facile trovare un omeomorfismo tra varietà differenziabili che non sia un diffeomorfismo, meno facile è trovare varietà omeomorfe che non siano anche diffeomorfe. È possibile dimostrare che per dimensioni minori o uguali a 3, tutte le varietà omeomorfe sono anche diffeomorfe; per dimensioni superiori a 3 è possibile trovare dei controesempi. Il primo controesempio di questo tipo fu costruito da John Milnor in dimensione 7: la sfera di Milnor.

BibliografiaModifica

  • Augustin Banyaga, The structure of classical diffeomorphism groups, Mathematics and its Applications, 400, Kluwer Academic, 1997, ISBN 0-7923-4475-8.
  • Peter L. Duren, Harmonic Mappings in the Plane, Cambridge Mathematical Tracts, 156, Cambridge University Press, 2004, ISBN 0-521-64121-7.
  • Morris Hirsch, Differential Topology, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-90148-0.
  • Andreas Kriegl e Peter Michor, The convenient setting of global analysis, Mathematical Surveys and Monographs, 53, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-0780-3.
  • J. A. Leslie, On a differential structure for the group of diffeomorphisms, in Topology. An International Journal of Mathematics, vol. 6, 1967, pp. 263–271, ISSN 0040-9383 (WC · ACNP), MR 0210147.
  • John Milnor, Collected Works Vol. III, Differential Topology, American Mathematical Society, 2007, ISBN 0-8218-4230-7.
  • Hideki Omori, Infinite-dimensional Lie groups, Translations of Mathematical Monographs, 158, American Mathematical Society, 1997, ISBN 0-8218-4575-6.

Voci correlateModifica

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